Differentialgleichung lösen

17.08.2012, 14:53

martinio

Differentialgleichung lösen

Hallo

Ich habe folgende Differntialgleichung zulösen:

$\begin{eqnarray*} t*x'(t) + 2x(t) + t^{1,5} = 0 ; t > 0 , x(1)=2 \end{eqnarray*}$

Soweit ich mich erinnern kann gibt es zwei Arten solche Gleichungen zulösen.

A) mit Seperation der Variablen
B) mit Variation der Konstanten

Um rauszufinden , welches Verfahren besser geeignet ist, habe ich die Gleichung umgestellt:

$\begin{eqnarray*} x'(t)= - \frac{2}{t}*x(t) - t^{\frac{-5}{2}} \end{eqnarray*}$

Hoffe der Umformungsschritt ist o.K. .
Daran so finde ich, lässt sich erkennen, dass man hier mit Variation der Konstanten
arbeiten sollte. Da diese Gleichung der notwend. Form entspricht:

$\begin{eqnarray*} x'(t)= a(t)*x(t)+b(t) \end{eqnarray*}$

Sind meine Überlegungen bis hierhin korrekt?

Grüße,
Martinio smile

17.08.2012, 14:59

HAL 9000

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Ja, Weg B) funktioniert. Er ist nicht besser als A), sondern von diesen beiden Wegen überhaupt nur der eine, der machbar ist:

Weg A) ist ausgeschlossen, da die Separation hier nicht möglich ist.

P.S.: Mit $\begin{eqnarray*} (t^2x)' = 2tx+t^2x' \end{eqnarray*}$ könnte man auch eine Abkürzung nehmen, aber dazu vielleicht später mehr.

17.08.2012, 16:47

martinio

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Danke HAL für die rasche Antwort.

Ich versuchs gerade dann mit der Variat. der Konstanten.

Ich suche ja zu der Lösung mir erstmal ein y was ich in die Lösungsgleichung einsetzten kann.

$\begin{eqnarray*} y(t)=\exp( \int_{t_0}^t \! \frac{1}{t} \, dt ) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} t_0 = 2 \end{eqnarray*}$
ergibt damit
$\begin{eqnarray*} y(t)=\exp((\ln(t)-\ln(2)) \end{eqnarray*}$

Also so verstehe ich es aus meinem skript raus. Kannst du mir folgen?

17.08.2012, 16:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von martinio
$\begin{eqnarray*} y(t)=\exp( \int_{t_0}^t \! \frac{1}{t} \, dt ) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} t_0 = 2 \end{eqnarray*}$

Das soll sich vermutlich auf die zugehörighe homogene Gleichung

$\begin{eqnarray*} y'(t)= - \frac{2}{t} \cdot y(t) \end{eqnarray*}$

beziehen. Aber wieso ist da der Vorfaktor $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ rechts verschwunden? Der muss mit ins Integral!

18.08.2012, 13:00

martinio

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genau hast recht:

$\begin{eqnarray*} y(t)=\exp \left( \int_{t_0}^t \!\frac{-2}{t} \, dt \right) \end{eqnarray*}$

und das ist dann für $\begin{eqnarray*} t_0=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t)=\exp \left( -2\ln(t)+2\ln(2) \right) \end{eqnarray*}$

kann man das noch weiter vereinfachen?! weil so dass in die Lösungsgleichung einsetzen sieht mir arg komisch aus :S

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