Ungleichung mit Bruch

17.08.2012, 16:34

Nils91

Ungleichung mit Bruch

Meine Frage:
Moin,

Ich hab mal eine generelle Frage wie ich an folgende Aufgabe herangehe:

$\begin{eqnarray*} 2<|\frac{6x+3}{3x+2} |\leq 3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hatte als erstes die Ungleichung aufgespalten in 2 Ungleichungen:

1. Ungleichung : $\begin{eqnarray*} 2<|\frac{6x+3}{3x+2} \end{eqnarray*}$

2. Ungleichung : $\begin{eqnarray*} |\frac{6x+3}{3x+2} |\leq 3 \end{eqnarray*}$

weiter habe ich bei der 1. Ungleichung wegen der Betragsstriche folgende Fallunterscheidungen gemacht:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} \frac{6x+3}{3x+2} \geq 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \frac{6x+3}{3x+2} > 2 \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} \frac{6x+3}{3x+2} \leq 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \frac{-6x+3}{3x+2} > 2 \end{eqnarray*}$

Bloß das ist glaube ich falsch und ich weiß nicht so richtig, wie ich korrekt an diese Aufgabe herangehe.

17.08.2012, 17:12

HAL 9000

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Der Bruch (und damit auch die Ungleichung) ist für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ undefiniert, für alle anderen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ darfst du mit $\begin{eqnarray*} |3x+2|>0 \end{eqnarray*}$ multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} 2|3x+2| < |6x+3| \leq 3|3x+2| \end{eqnarray*}$

Die nun fällige Fallunterscheidung solltest du an den Nullstellen der beiden Terme innerhalb der Beträge ausrichten...

17.08.2012, 17:16

original

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RE: Ungleichung mit Bruch

Zitat:

Original von Nils91

Ich hab mal eine generelle Frage wie ich an folgende Aufgabe herangehe:

$\begin{eqnarray*} 2<|\frac{6x+3}{3x+2} |\leq 3 \end{eqnarray*}$

..herangehe.

Vorschlag:
schau dir zuerst mal die Hyperbel an:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{6x+3}{3x+2} = 2 - \frac{1}{3x+2} \end{eqnarray*}$

da wirst du sehen, dass für den Ast mit x < -2/3 immer gilt: f(x) > 2
und da musst du also nur noch schauen , wo dieser Ast die Gerade y=3 schneidet..

und dann kannst du noch | f(x) | im Intervall -2/3 < x < - 1/2 untersuchen .. und bist schon fertig

..................... Wink

17.08.2012, 17:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von original
und bist schon fertig

Na es sollte schon noch diskutiert werden, was im Intervall $\begin{eqnarray*} x\geq -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ passiert, denn auch wenn es da keine Ungleichungslösungen gibt, muss das auch begründet werden. Augenzwinkern

17.08.2012, 20:17

Nils91

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Vielen Dank erstmal für die Antworten.

Ich verstehe allerdings noch nicht ganz welche Grenzen ich nutzen kann.

Da die Definitionslücke bei -2/3 liegt, untersuche ich doch die Bereiche für x>-2/3 und x<-2/3 oder?

Und in diesen Bedingungen sage ich wegem dem Betrag dann nochmal, wenn x>0 oder x<0 ist. Kann man das so machen?

17.08.2012, 20:53

Nils91

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Also ich hab jetzt die rechte Teilungleichung versucht zu rechnen und komme auf einen Wertebereich von -1 bis 1 für den x-Bereich, wie kann ich anschließend damit weiterarbeiten? Oder ist das ein völlig falscher Ansatz?

17.08.2012, 22:03

original

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Zitat:

Original von HAL 9000

Na es sollte schon noch diskutiert werden,
was im Intervall $\begin{eqnarray*} x\geq -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ passiert,
denn auch wenn es da keine Ungleichungslösungen gibt, muss das auch begründet werden. Augenzwinkern

ja
du hast natürlich völlig Recht - nur: ich bin halt davon ausgegangen, dass da nicht mehr viel
zum Diskutieren anfällt, denn dass

$\begin{eqnarray*} | 2 - \frac{1}{3x+2} | < 2 \end{eqnarray*}$ .... für alle x > -1/2

ist von Weitem sichtbar und erledigt damit den Fall diskussionslos mit einer kleinen Bemerkung
(zB zu Monotonie und zum asymptotischen Verhalten der Hyperbel y=f(x) rechts von der Nullstelle)
.

18.08.2012, 00:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von original
ist von Weitem sichtbar und erledigt damit den Fall diskussionslos mit einer kleinen Bemerkung

Ob der Fragesteller auf dem gleichen Souveränitätsniveau wie du agiert? Offenbar nicht, und deswegen sind Bemerkungen wie "und bist schon fertig" fehl am Platze - bei dieser Meinung bleibe ich. Augenzwinkern

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