Extremwertaufgabe: Gerade durch Punkt mit minimalen Achsenabschnitten

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17.08.2012, 17:01	Iomegan	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe: Gerade durch Punkt mit minimalen Achsenabschnitten Hallo Leute, ich habe folgende Aufgabe: [attach]25533[/attach] Durch den gegebenen Punkt P(4;1) ist eine Gerade derart zu legen, dass die Summe der Längen der positiven Abschnitte, die von ihr auf den Koordinaten- achsen abgetrennt werden, am kleinsten ist ( also S = x0 + y0 = minimal). Wie lautet diese Gerade? Was ich mir überlegt habe ist folgendes: HB ist S = y0 + x0 , NB: Jeweils der Ordinaten- und Abzissenabschnitt der Geraden mit der Steigung m durch den Punkt 4\|1. y0 und x0 sind Ordinaten- und Abzissenabschnitt. Trotzdem komme ich mit diesen Informationen nicht weiter. Alle Ansätze führen ins falsche. Stehe total auf dem Schlauch. Hat da jemand vielleicht eine Idee? Der Anfang würde mich schon glücklich machen. Gruß Daniel edit von sulo: Habe die Grafik als Dateianhang angefügt.
17.08.2012, 17:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Fang doch am besten erst einmal mit der Geradenschar durch den Punkt (4/1) an. Wann verläuft g(x)=mx+b durch den Punkt (4/1)? Danach bestimmst Du von dieser Schar die Nullstelle und den y-Achsenabschnitt.
17.08.2012, 17:59	Iomegan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da hapert's schon. Ich brauch doch mindestens zwei Punkte um eine gerade bestimmen zu können. o_O
17.08.2012, 18:23	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Gerade schon, aber hier geht es ja um eine Schar. Hättest Du nur eine einzige Gerade zur Auswahl, dann wäre die Optimierung ja sinnlos Also noch einmal: Welche Gleichung muss erfüllt sein, damit der Punkt P(4/1) auf einer Geraden g(x)=mx+b liegt?
17.08.2012, 18:42	Iomegan	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1=4m+b\ ? \end{eqnarray}$
17.08.2012, 18:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Was muss demnach also b sein? Das setzt Du in die Gleichung von g ein und hast damit die Geradenschar. Bestimme dann den Schnittpunkt mit den Achsen. Ich bin mal für ca. eine Stunde weg, danach kann ich wieder antworten. Also nicht wundern, falls es ein klein wenig länger als normal dauert.
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17.08.2012, 19:59	Iomegan	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal für deine Hilfe! $\begin{eqnarray} b=-4m+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g\left( x \right)=-3m+1+x \end{eqnarray}$ und Schnittpunkte: $\begin{eqnarray} x=3m-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=-3m+1 \end{eqnarray}$ Aber wie geht's weiter? Ich stehe total auf dem Schlauch. Schlechter Tag heute.
17.08.2012, 20:11	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein g(x) stimmt nicht. Nach dem Ersetzen von b kannst Du nicht so zusammenfassen, wie Du es gemacht hast. Ich würde auch aufs Zusammenfassen an der Stelle verzichten. Wenn Du die richtigen Werte berechnet hast, setzt Du sie in die Zielfunktion ein und suchst nach dem Minimum.
17.08.2012, 20:56	Iomegan	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Muss natürlich lauten: $\begin{eqnarray} b=-4m+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g\left( x \right)=mx-4m+1 \end{eqnarray}$ und Schnittpunkte: $\begin{eqnarray} x=4+1/m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=-4m+1 \end{eqnarray}$ Eingesetzt in die HB: $\begin{eqnarray} s=4+\frac{1}{m}-4m+1 \end{eqnarray}$ und: $\begin{eqnarray} s'=-\frac{1}{m^{2}}-4 \end{eqnarray}$ Nur was ist jetzt das Minimum. Bei den üblichen Aufgaben ist es ja meistens ein Wert, z.B. eine Fläche die extrem sein soll. Diesmal soll es eine Gerade sein. Das verwirrt und deprimiert mich.
17.08.2012, 21:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das x stimmt noch nicht. Ansonsten willst Du s minimieren, was keine Gerade sondern die Summe zweier Strecken ist, die beide von m abhängen. Du suchst also die Steigung, die zur kürzesten Streckensumme führt.
17.08.2012, 21:37	Iomegan	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x = -4+1/m \end{eqnarray}$ Ich mach' hier morgen weiter. Ich mach' hier gerade echt zu viele Flüchtigkeitsfehler...

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