Gebietsintegral Hohlzylinder

17.08.2012, 18:26

Massek

Gebietsintegral Hohlzylinder

Meine Frage:
Hallo liebe Mathe-Freunde,

habe folgendes Problem: die Aufg findet ihr im Anhang als Bilddatei

Bin dankbar für jede Hilfe......

Meine Ideen:
ich weiß nicht wie ich die inneren grenzen für y bilden soll für
die äußere mit x habe ich 2*(r1<x<r2)

17.08.2012, 18:31

Massek

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RE: Gebietsintegral Hohlzylinder
hier noch mal die datei

17.08.2012, 20:28

Leopold

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RE: Gebietsintegral Hohlzylinder

Zitat:

Original von Massek
Meine Ideen:
ich weiß nicht wie ich die inneren grenzen für y bilden soll für
die äußere mit x habe ich 2*(r1<x<r2)

Was soll das bedeuten? verwirrt

Am einfachsten geht das wohl mit Polarkoordinaten. Die Formulierung der Aufgabe läßt jedoch vermuten, daß diese noch nicht bekannt sind. Es geht auch ohne. Vereinigt man die Kreisfläche $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ vom Radius $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , so erhält man die Kreisfläche $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ vom Radius $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Bis auf eine Nullmenge ist die Vereinigung disjunkt, so daß

$\begin{eqnarray*} \int_{K_1} f(x,y) ~ \dd (x,y) + \int_G f(x,y) ~ \dd (x,y) = \int_{K_2} f(x,y) ~ \dd (x,y) \end{eqnarray*}$

folgt (hierbei ist $\begin{eqnarray*} \dd (x,y) \end{eqnarray*}$ eine mir besser zusagende alternative Schreibweise für $\begin{eqnarray*} \dd G \end{eqnarray*}$ ). Umgeformt erhält man also

$\begin{eqnarray*} \int_G f(x,y) ~ \dd (x,y) = \int_{K_2} f(x,y) ~ \dd (x,y) - \int_{K_1} f(x,y) ~ \dd (x,y) \end{eqnarray*}$

Die beiden Integrale auf der rechten Seite können nun nach demselben Muster berechnet werden. Mit $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ etwa geht es so:

Man überlegt sich zunächst, über welchen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werten Punkte von $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ liegen. Das sind offenbar die Zahlen zwischen $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Man erhält so

$\begin{eqnarray*} \int_{K_2} f(x,y) ~ \dd (x,y) = \int_{-2}^2 \left( \int_{\text{???}}^{\text{???}} f(x,y) ~ \dd y \right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Und jetzt mußt du in Abhängigkeit von einem fest gedachten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Grenzen für das innere Integral ermitteln. Wenn du bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine vertikale Strecke aus dem Kreis $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ ausschneidest, zwischen welchen Werten variieren dann die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordinaten der Punkte?

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