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17.08.2012, 19:06

Gast11022013

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Meine Frage:
Hallo, ich hab mal eine Frage zu regulären bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Wieso kann man $\begin{eqnarray*} E(X|Y)=\int xf_{X|Y}(x|Y(\omega)\, dx \end{eqnarray*}$ rechnen?

Bei Wikipedia steht, dass die bedingte Dichte die Dichte einer regulären bedingten Verteilung $\begin{eqnarray*} P(X\in\cdot |Y) \end{eqnarray*}$ ist, aber das verstehe ich nicht.

Und ist dann

$\begin{eqnarray*} E(X|\sigma(Y))(\omega)=\int x\pi(\omega,x)\, dx \end{eqnarray*}$ , wenn $\pi(\cdot, A)[/l] eine reguläre bedingte W.keit ist??

Müsste nicht aber $\begin{eqnarray*} E(X|Y)=E(X|\sigma(Y)) \end{eqnarray*}$ (definiert man ja so) sein, d.h. da müsste doch eigentlich das Gleiche rauskommen, aber ich seh nicht, dass das so ist.

Meine Ideen:
...

18.08.2012, 10:10

saz

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Die Formel

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|Y)(w) = \int x \cdot f_{X|Y}(x|Y(w)) \, dx \end{eqnarray*}$

gilt nur unter speziellen Bedingungen, beispielsweise insbesondere falls X und Y eine gemeinsame Dichte haben. Eine allgemeinere Bedingung ist, dass das Maß $\begin{eqnarray*} B \mapsto \mathbb{P}[X \in B|Y] \end{eqnarray*}$ eine Dichte besitzt - die Dichte heißt dann eben reguläre bedingte Dichte und erhält die Notation $\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(\cdot|y) \end{eqnarray*}$ .

Wie meinst du denn die Frage, wieso man so rechnen kann? Man muss natürlich beweisen, dass es gilt und dann kann man doch offenbar so rechnen.... verwirrt

Und ja: Nach Definition gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|\sigma(Y))=:\mathbb{E}(X|Y) \end{eqnarray*}$ und folglich kann es zwischen diesen beiden Zufallsvariablen überhaupt keine Unterschiede geben.

18.08.2012, 11:02

Gast11022013

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Hallo, saz! Danke für Deine Antwort. Dazu habe ich noch Fragen:

Zitat:

Original von saz

Eine allgemeinere Bedingung ist, dass das Maß $\begin{eqnarray*} B \mapsto \mathbb{P}[X \in B|Y] \end{eqnarray*}$ eine Dichte besitzt - die Dichte heißt dann eben reguläre bedingte Dichte und erhält die Notation $\begin{eqnarray*} f_{X|Y}(\cdot|y) \end{eqnarray*}$ .

Verstehe ich das richtig:

$\begin{eqnarray*} P(X\in\cdot|Y)=P(X\in\cdot|\sigma(Y)) \end{eqnarray*}$ muss ein Wahrscheinlichkeitsmaß sein, d.h. es existiert ein Markov-Kern, sodaß

$\begin{eqnarray*} P(X\in\cdot|\sigma(Y))(\omega)=\pi(\omega,\cdot) \end{eqnarray*}$ .

Ist das denn immer erfüllt, d.h. handelt es sich um ein W.keitsmaß?

Und dieses Wahrscheinlichkeitsmaß wiederum muss eine Dichte besitzen.

----------------

Wenn die bedingende Unter- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \sigma(Y) \end{eqnarray*}$ ist, kann man dann auch einen Markov-Kern $\begin{eqnarray*} \pi(Y(\omega),\cdot) \end{eqnarray*}$ verwenden?

20.08.2012, 10:00

saz

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$\begin{eqnarray*} B \mapsto \mathbb{P}[X \in B|\mathcal{F}](w) \end{eqnarray*}$ ist im Allgemeinen kein Maß - es ist also wirklich eine Forderung, dass es sich um ein solches handelt. (Das Problem liegt in der sigma-Additivität begründet, weil die Nullmengen, die man sich da einhandelt, "explodieren" können.)

Angenommen, es ist ein Maß, dann folgt daraus noch nicht so einfach, dass auch ein Markov-Kern existiert. Ehrlich gesagt kenne ich mich aber mit Markov-Kernen nicht wirklich tiefgründig aus - vielleicht kann dir ja hier jemand anderes noch etwas dazu sagen.

20.08.2012, 11:12

Gast11022013

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Das hat mir schon weitergeholfen, danke.

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