Funktionen (u.a. Monotonie, Definitionsbereich)

17.08.2012, 21:05

seppel.

Funktionen (u.a. Monotonie, Definitionsbereich)

Meine Frage:
Hi,
ich bin gerade mitten im Klausurstress und habe noch einige Nachfragen, weil ich mir nicht ganz sicher bin. Hoffe jemand kann helfen.

1. Gegeben ist die Funktion f(x)=2(x-3)²+4. Geben Sie die maximale Definitions- und Wertemenge von f an.

2. Zeigen oder widerlegen Sie.
a) Die Funktion f(x)=0,2^x ist streng monoton fallend auf ganz R.
b) Die Umkehrfunktion einer allgemeinen Potenzfunktion 3. Grades ist wieder eine Potenzfunktion.

Meine Ideen:
Soo, habe mir da auch schon Gedanken gemacht.

zu 1.
D = R
W = R+

Müsste so stimmen oder? Die Klammer ist ja immer positiv, also kann nichts Negatives rauskommen. Meine Frage dazu: Gibt es da irgendeinen Trick, wie man auch bei komplizierteren Termen direkt weiß, wie D und W aussieht?

zu 2.
a) Ich weiß nicht, wie ich das "Zeigen" soll? Für mich ist klar, dass der Wert immer höher werden muss.. Wenn ich negative Zahlen einsetze, kriege ich 1/0,2^x, was ja wiederum positiv ist und wenn ich positive Zahlen einsetze, wird f(x) natürlich immer größer.. Aber wie genau kann man das zeigen? Ableitungen dürfen wir nicht benutzen.
b) Mein Ergebnis: f(x)=dritte Wurzel aus x/a. Ist das dann eine Wurzelfunktion?

17.08.2012, 23:11

Che Netzer

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RE: Funktionen (u.a. Monotonie, Definitionsbereich)
Hallo,

zu 1.:
Die Bildmenge ist dabei noch falsch, siehe auch unten.

Zitat:

Original von seppel.
Müsste so stimmen oder? Die Klammer ist ja immer positiv, also kann nichts Negatives rauskommen. Meine Frage dazu: Gibt es da irgendeinen Trick, wie man auch bei komplizierteren Termen direkt weiß, wie D und W aussieht?

Den maximalen Definitionsbereich kann man meist am einfachsten bestimmen, oft muss man nur nachsehen, ob bei einem der auftretenden Brüche eine Division durch Null auftreten kann. (auch versteckt im Tangens o.ä.)
Weitere typische Definitionslücken sind negative Terme unter Wurzeln oder nichtpositive in Logarithmen.

Allgemein sieht man sicht alle auftretenden Funktionen an (hier: Multiplikation, Quadratur, Addition) und überlegt, wann die nicht definiert sind.

Für die Bild- bzw. Wertemenge muss man meist mehr nachdenken. Bei Polynomen hat man jedoch Glück; hier muss man nur den Grad des Polynoms betrachten und bei geradem Grad ein (globales) Extremum suchen. Mehr verrate ich dazu aber nicht Augenzwinkern

Zu 2.
a) Hier nimmst du dir zunächst zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und überprüfst, ob dann aus $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(x)>f(y) \end{eqnarray*}$ .

b) Wie habt ihr denn Potenzfunktionen definiert? Und kannst du die Wurzel auch anders schreiben?

mfg,
Ché Netzer

18.08.2012, 00:15

seppel7.

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Hey,
danke! smile

zu 1)
Ach so, man muss wahrscheinlich angeben, dass die Wertemenge immer mindestens 4 ist? Also R $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4?

zu 2)
a) D.h. es ist ausreichend, wenn man das an zwei Zahlen zeigt und dann ist die Monotonie bewiesen?

b) "Eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)=x^r, x,r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R nennt an Potenzfunktion."

Anders schreiben .. In f(x)=x^1/3? Also wohl eine Wurzelfunktion? Damit ist die Aussage widerlegt.

18.08.2012, 00:28

Che Netzer

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Zitat:

Original von seppel7.
zu 1)
Ach so, man muss wahrscheinlich angeben, dass die Wertemenge immer mindestens 4 ist? Also R $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4?

Ja, der erste Summand ist größer gleich 0, der zweite ist ja wohl 4.
Die Schreibweise ist aber etwas seltsam. Macht ihr das immer so? Ich hätte $\begin{eqnarray*} [4,\infty) \end{eqnarray*}$ geschrieben.

Zitat:

zu 2)
a) D.h. es ist ausreichend, wenn man das an zwei Zahlen zeigt und dann ist die Monotonie bewiesen?

Für zwei "allgemeine Zahlen", ja. D.h. für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} f(x)>f(y) \end{eqnarray*}$ gelten (das hatte ich oben verwechselt, editiere ich gleich).

Zitat:

b) "Eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)=x^r, x,r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R nennt an Potenzfunktion."

Anders schreiben .. In f(x)=x^1/3? Also wohl eine Wurzelfunktion? Damit ist die Aussage widerlegt.

Du bist also soweit, dass aus $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\tfrac xa}=(\tfrac xa)^{1/3} \end{eqnarray*}$ .
Und ist denn $\begin{eqnarray*} \tfrac13\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

18.08.2012, 10:54

seppel7.

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Hm, ja, haben das eigentlich immer so geschrieben!

Ist das wirklich so bei der Monotonie? Habe gerade doch noch etwas dazu in den Unterlagen gefunden, deine erste Variante war doch eigentlich richtig?

"Gilt: x > y -> f(x) > f(y), dann ist f streng monoton fallend."

1/2 ist 'ne reele bzw. rationale Zahl, ja.. Da blick ich jetzt nicht mehr durch.

18.08.2012, 12:45

Che Netzer

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Nein, die zweite Version war schon richtig. Wenn das Argument größer wird, muss der Funktionswert kleiner werden.

Und wenn du diese Umkehrfunktion als "Konstante mal x hoch reelle Zahl" darstellen kannst, ist das dann eine Potenzfunktion?

19.08.2012, 11:21

seppel7.

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Stand wohl etwas auf dem Schlauch.

Nach der Definition, die wir haben, ist es ja auf jeden Fall auch wieder eine Potenzfunktion.
Danke dir. smile

Indem ich die Formel einfach so auflöse, habe ich das schon fertig gezeigt ne?

Ich habe noch 'ne Frage zur Monotonie.. Wenn man das wirklich nur an zwei Zahlen zeigen kann, wie macht man das denn dann für Funktionen, die erst steigen und dann fallen oder andersrum? Da kann man das ja gar nicht mit der allgemeinen o.g. Formel zeigen?

19.08.2012, 12:17

Che Netzer

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Zitat:

Original von seppel7.
Ich habe noch 'ne Frage zur Monotonie.. Wenn man das wirklich nur an zwei Zahlen zeigen kann, wie macht man das denn dann für Funktionen, die erst steigen und dann fallen oder andersrum? Da kann man das ja gar nicht mit der allgemeinen o.g. Formel zeigen?

Solche Funktionen sind dann auch nicht monoton Augenzwinkern

Da untersucht man dann die Monotonie auf den einzelnen Intervallen, also z.B. für $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x,y\in(-\infty,0], x<y\Rightarrow f(x)>f(y) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} x,y\in[0,\infty), x<y\Rightarrow f(x)<f(y) \end{eqnarray*}$ .

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