Interpolationsfehler

18.08.2012, 11:31	Tastatur123	Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolationsfehler Hallo Leute, in meinem Matheskript steht eine Formel für den Interpolationsfehler die ich nicht verstehe: Ist $\begin{eqnarray} x \in [x_0, x_n] \end{eqnarray}$ , so gibt es ein $\begin{eqnarray} \xi \in [x_0, x_n] \end{eqnarray}$ , sodass für den Interpolationsfehler f(x) - p(x) gilt: $\begin{eqnarray} f(x)-p(x) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!} \cdot \prod \limits_{i=0}^{n}(x-x_i) \end{eqnarray}$ Könnte mir jemand erklären was $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ hier sein soll? Könnte mir jemand ein Beispiel geben? Vielen Dank schon einmal.
18.08.2012, 12:27	Simmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast das so wunderschön aufgeschrieben, dass es doch schon da steht. Das $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ ist eben eine Zahl die in dem von dir angegebenen Intervall liegt. Es handelt sich dabei ja nur um eine Existenzaussage. In der Praxis rechnet Niemand das $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ konkret aus. Man benutzt eher den gesamten Wertevorrat aus dem das $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ kommt für Abschätzungen.
18.08.2012, 15:47	Tastatur123	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die rasche Antwort. Leider erschließt sich das für mich noch nicht ganz. Deshalb hier ein konkretes Beispiel: Ich möchte den cos(x) im Intervall von $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ durch ein Polynom 4. Grades annähern. Dazu unterteile ich den Intervall in vier Teilintervalle der Größe $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ und Benutze die Teilintervallgrenzen als Stützstellen. Wie berechne ich hier jetzt ganz praktisch den Interpolationsfehler an der Stelle 1?!? Über eine verständliche Antwort wäre ich sehr dankbar.
18.08.2012, 15:55	Simmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem du den Wert des Polynoms an der Stelle 1 vom Wert des Cosinus an der Stelle 1 subtrahierst. Ich hoffe doch, dass dies verständlich ist. So ist der Fehler nunmal definiert, als das was man noch dazu addieren müsste damits genau stimmt
18.08.2012, 17:33	Tastatur123	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber nehmen wir mal an, ich kenne die Funktion, die ich da interpoliert habe NICHT und möchte einfach abschätzen um wieviel ich mich denn an der Stelle verrechnet haben könnte. Kann ich dann mit dieser Formel überhaupt was anfangen, oder hab ich da was komplett falsch verstanden? Ist die Formel nicht genau dafür da? Betragsmäßig den maximalen Fehler an einer bestimmten Stelle abschätzen? Aus der Numerischen Integration (Kepler, Simpson, etc...) kennen wir doch auch solche Fehler-Formeln, und dort funktioniert das genau so.
18.08.2012, 18:28	Simmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ganz genau. Du kannst das Fehlerglied ja dann mit Methoden der Extremwertberechnung bearbeiten um auf die entsprechende Abschätzung zu kommen. Das kommt natürlich immer auf die Funktion an die benutzt wird. In deinem konkreten Fall-Beispiel steht dann an der Stelle wohl entweder ein Sinus oder ein Cosinus bei denen man dann schauen müsste wie groß die Werte im fraglichen Intervall werden können.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »