Große Kardinalzahlen - club Mengen

01.02.2007, 10:15

Qoph

Große Kardinalzahlen - club Mengen

Sei $\begin{eqnarray*} k \ge \omega_1 \end{eqnarray*}$ regulär, und sei $\begin{eqnarray*} f : W(k) \rightarrow W(k) \end{eqnarray*}$ eine Funktion. Wie kann ich zeigen, dass gilt: ist f stetig und konfinal in k, so ist $\begin{eqnarray*} \{ \alpha < k~|~f(\alpha ) = \alpha \} \end{eqnarray*}$ club in k.

01.02.2007, 10:43

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RE: Große Kardinalzahlen - club Mengen

Zitat:

Original von Qoph
Sei $\begin{eqnarray*} k \ge \omega_1 \end{eqnarray*}$ regulär, und sei $\begin{eqnarray*} f : W(k) \rightarrow W(k) \end{eqnarray*}$ eine Funktion. Wie kann ich zeigen, dass gilt: ist f stetig und konfinal in k, so ist $\begin{eqnarray*} \{ \alpha < k~|~f(\alpha ) = \alpha \} \end{eqnarray*}$ club in k.

Also für mich sind die Begriffe "konfinal" und "club" Neuland. Wär vielleicht ganz gut, wenn du sie erklären könntest.

01.02.2007, 11:29

Qoph

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Hier kann man leider nicht auf Wikipedia-Artikel verweisen... Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ eine Limesordinalzahl (=Ordinalzahl $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \alpha \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ keine Nachfolgerordinalzahl ist), und sei $\begin{eqnarray*} X \subseteq W(\lambda) \end{eqnarray*}$ .

- X heißt unbeschränkt in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \lambda = sup(X) \end{eqnarray*}$ .
- X heißt abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , falls für alle Limesordinalzahlen $\begin{eqnarray*} \alpha < \lambda \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} sup(X \cap W(\alpha)) = \alpha \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \alpha \in X \end{eqnarray*}$ .

X heißt club ("closed-unbounded") in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , falls X abgeschlossen und unbeschränkt in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist.

Sei $\begin{eqnarray*} \langle M, < \rangle \end{eqnarray*}$ eine lineare Ordnung, und sei $\begin{eqnarray*} N \subseteq M \end{eqnarray*}$ . N heißt konfinial in $\begin{eqnarray*} \langle M,< \rangle \end{eqnarray*}$ , falls für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} x \leq y \end{eqnarray*}$ .

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