Vollständige Induktion mit Fakultät

18.08.2012, 21:09

pstein

Vollständige Induktion mit Fakultät

Moin,

bei folgender Aufgabe beiße ich mir gerade die Zähne aus.

$\begin{eqnarray*} 3*3!+4*4!+...+n*n! = (n+1)!-6 \end{eqnarray*}$

Für alle $\begin{eqnarray*} n>=3 \end{eqnarray*}$
Das "Für alle" Symbol finde ich leider nicht. Wenn jemand weiß, wie das funktiniert, immer her damit.

Induktionsanfang
$\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3*3!=(3+1)!-6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 18=18 \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung
Es gibt mindestens ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N | n>=3 \end{eqnarray*}$ für das die oben aufgeführte Summe gültig ist.

Induktionsschluss
$\begin{eqnarray*} (n+1)(n+1)!+(n+1)!-6=(n+2)!-6 \end{eqnarray*}$

Es ist so, dass ich absolut keine Idee habe, wie ich arithmetisch vorgehen kann. Hat jemand vielleicht einen Tipp für mich? Sitze hier grad, wie der Ochse vorm Berg.

VG
pstein

18.08.2012, 21:21

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion mit Fakultät
Hallo,

das "für alle"-Zeichen erhältst du mit \forall: $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ (bzw. \bigwedge: $\begin{eqnarray*} \bigwedge \end{eqnarray*}$ ).
Das Zeichen für "größer gleich" gibt es als \ge oder \geq; jeweils $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ .
Auch als \geqq ( $\begin{eqnarray*} \geqq \end{eqnarray*}$ ) und \geqslant ( $\begin{eqnarray*} \geqslant \end{eqnarray*}$ ).

Zur Aufgabe: Klammere auf der linken Seite der letzten Gleichung einfach $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ aus Augenzwinkern

Edit: Ich gehe zumindest davon aus, dass du diese Gleichheit erst noch zeigen wolltest...

(In der "Reischrift" solltest du dann aber noch genauer zeigen, wann du die Induktionsvoraussetzung angewandt hast)

mfg,
Ché Netzer

18.08.2012, 21:50

pstein

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RE: Vollständige Induktion mit Fakultät
$\begin{eqnarray*} (n+1)(n+1)!+(n+1)!-6=(n+2)!-6 \end{eqnarray*}$

OK! Danke für die Tipps mit den Sonderzeichen.

Wenn ich ausklammere, erhalte ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} (n+1)!*((n+1)+1)-6=(n+2)!-6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (n+1)!*(n+2)-6=(n+2)!-6 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe da bis jetzt keinen Unfug verzapft zu haben?

18.08.2012, 22:33

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion mit Fakultät
Das scheint alles zu stimmen, aber ich würde das eher als Gleichungskette schreiben, anstatt das, was du haben möchtest, schon rechts hinzuschreiben.
Also $\begin{eqnarray*} \dotso=(n+1)(n+1)!+(n+1)!--6=\dotso=(n+2)!-6 \end{eqnarray*}$ .

Und bei der Gelegenheit noch:
Für Multiplikationen empfehle ich \cdot statt *, also $\begin{eqnarray*} a\cdot b \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} a*b \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

18.08.2012, 22:59

pstein

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RE: Vollständige Induktion mit Fakultät
OK, dann hänge ich an diesem Term fest.

$\begin{eqnarray*} (n+1)! \cdot (n+2)-6 \end{eqnarray*}$

Einfaches Ausmultiplizieren wäre wohl zu einfach? Habe abgesehen von dem Standardlottobeispiel absolut keine Erfahrung mit Fakultäten. Was kann man mit dem Term noch anstellen?

18.08.2012, 23:03

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion mit Fakultät
Sieh dir mal die Definition der Fakultät an.

Wenn das nicht reicht, überlege es dir zunächst an Beispielen wie $\begin{eqnarray*} 2!\cdot3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 3!\cdot4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4!\cdot5 \end{eqnarray*}$ .

18.08.2012, 23:47

pstein

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RE: Vollständige Induktion mit Fakultät
Moment mal, dann muss ich mich ja gar nicht mehr auf der linken Seite an dem Ausdruck vergehen. Laut Definition ist ja $\begin{eqnarray*} \forall n \geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n!=n \cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$

Das heißt in dem Fall: $\begin{eqnarray*} (n+1)! \cdot (n+2)-6=(n+2)!-6 \end{eqnarray*}$

Ich wende die Definition auf die rechte Seite an und erhalte:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! \cdot (n+2)-6=(n+1)! \cdot (n+2)-6 \end{eqnarray*}$

Damit wäre die vollständige Induktion doch vollzogen, oder?

19.08.2012, 00:17

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion mit Fakultät

Zitat:

Original von pstein
Ich wende die Definition auf die rechte Seite an und erhalte:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! \cdot (n+2)-6=(n+1)! \cdot (n+2)-6 \end{eqnarray*}$

Dass das gilt, ist keine große Überraschung.
Du hast anfangs nur den Term
$\begin{eqnarray*} 3\cdot3!+4\cdot4!+\dotsb+n\cdot n!+(n+1)\cdot(n+1)! \end{eqnarray*}$ ,
aber keine Gleichung, sondern sollst diesen Term einfach nur so umformen, dass du am Ende auf $\begin{eqnarray*} (n+2)!-6 \end{eqnarray*}$ kommst.

19.08.2012, 00:21

pstein

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Danke für deine Hilfe!

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