Definition Skalarprodukt

19.08.2012, 03:12

Nighel123

Definition Skalarprodukt

Moin,

ich habe grade gesehen, dass das Skalarprodukt wie folgt definiert wird:

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot\vec b=\left(\sum\limits^3_{i=1}a_i\vec e_i\right)\cdot\left(\sum\limits^3_{j=1}b_j\vec e_j\right) \end{eqnarray*}$

aber kommt dann da nicht das raus:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits^3_{i=1}a_i\vec e_i\right)\cdot\left(\sum\limits^3_{j=1}b_j\vec e_j\right)=\left(\left(\begin{matrix}a_1\\0\\0\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}0\\a_2\\0\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}0\\0\\a_3\end{matrix}\right)\right)\cdot\left(\left(\begin{matrix}b_1\\0\\0\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}0\\b_2\\0\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}0\\0\\b_3\end{matrix}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Wie komm ich von da aus zum herkömmlichen Skalarprodukt indem ich die rechte Seite umforme.

Gruß Nickel

19.08.2012, 03:29

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Definition Skalaprodukt
Ganz normal ausmultiplizieren.

19.08.2012, 09:07

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da gibts nichts auszumultiplizieren, hier fehlt schlicht die eigentliche Definition. Links vom " $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ " steht ein Symbol [nämlich " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ "], rechts genau dasselbe, das heisst es wurde noch nicht erklärt was dieses Symbol zu bedeuten hat.

Ausserdem wurden rechts nur die Vektoren durch eine Basisdarstellung ersetzt.

19.08.2012, 23:34

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah dachte dahinter verberge sich schon die definition... als nächster schritt wird dann geschrieben: $\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits^3_{i=1}a_i\vec e_i\right)\cdot\left(\sum\limits^3_{j=1}b_j\vec e_j\right)=\sum^3_{i,j}a_ib_j\left(\vec e_i\vec e_j\right) \end{eqnarray*}$

Ich kann diese Umformung nicht ganz nachvollziehen. Die gilt doch nur wenn 2 unterschidliche kanonische einheitsvektoren miteinader multipliziert 0 ergeben oder?

Gruß Nickel

20.08.2012, 00:07

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die gilt immer.
Die Summe geht über $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ , d.h. es wird über alle (zulässigen) Paare von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ summiert. Das ist also ganz einfach die Distributivität (bzw. die Linearität des Skalarproduktes), d.h. die Gleichung gilt so in allen reellen Vektorräumen.

20.08.2012, 00:19

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei sich natürlich dann hier sofort die Frage stellt, wie diese mysteriöse Klammer
$\begin{eqnarray*} \left(\vec e_i\vec e_j\right) \end{eqnarray*}$
definiert ist Augenzwinkern

20.08.2012, 15:26

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo bei Wikipedia steht unter Skalarprodukt, dass $\begin{eqnarray*} \vec e_1\cdot\vec e_2=0 \end{eqnarray*}$ ergibt. Also das meinte ich mit meinem Satz "wenn unterschiedliche einheitsvektoren miteinander multipliziert werden...". @ Che Netzer, das meinst du dann wohl auch mit zulässig oder weil ansonsten würde da ja ein ewig langer Term raus kommen oder?

Gruß Nickel

20.08.2012, 15:32

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass $\begin{eqnarray*} \vec e_1\cdot\vec e_2=0 \end{eqnarray*}$ ist zwar mit Standardskalarprodukt und Standardeinheitsvektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ erfüllt, es müsste aber nicht so sein.
(ihr werdet später sicher den Begriff Orthonormalbasis einführen, dann dürfte es klarer werden)

Mit zulässig meine ich nur, dass man nicht für $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ Werte wie $\begin{eqnarray*} \tfrac\pi4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ einsetzt.
Die Summe geht aber tatsächlich über alle Kombinationen von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ .

Sieht man auch an einem kleineren Beispiel:
$\begin{eqnarray*} (a_1+a_2)(b_1+b_2)=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+a_2b_2 \end{eqnarray*}$ ,
darin kommen auch nicht nur gleiche Indizes vor.

Du kannst dir diese Einheits-/Basisvektoren $\begin{eqnarray*} \vec e_i \end{eqnarray*}$ auch als normale Variablen vorstellen, die du dann alle ausmultiplizierst.

20.08.2012, 15:54

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nighel123
Jo bei Wikipedia steht unter Skalarprodukt, dass $\begin{eqnarray*} \vec e_1\cdot\vec e_2=0 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Und abermals wurde für eine Definition der zu definierende Begriff genutzt unglücklich

.

Wenn du es sauber definieren willst, dann nutze wenigstens zum Beispiel das Kronecker-Delta.

20.08.2012, 17:03

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

jo ist mir auch aufgefallen, hab aber kp wie man das sonst machen soll... ich versuch mal raus zu finden was das ist mit dem Kronecker-Delta.

20.08.2012, 17:09

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nighel123
jo ist mir auch aufgefallen, hab aber kp wie man das sonst machen soll...

Wie man was machen sollte? Das Skalarprodukt definieren? Oder die Umformung durchführen?

Zitat:

ich versuch mal raus zu finden was das ist mit dem Kronecker-Delta.

Das sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \delta_{ij}=\begin{cases}1&i=j,\\0&i\neq j.\end{cases} \end{eqnarray*}$
Also ist (in diesem Fall) $\begin{eqnarray*} \vec e_i\cdot\vec e_j=\delta_{ij} \end{eqnarray*}$ .

So, der Übersichtlichkeit halber verschwinde ich dann jetzt aber.

21.08.2012, 23:54

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Skalarprodukt zu definieren. Die Umformung hab ich jetzt kapiert. Danke!

Ok... aber dann schreib ich ja einfach nur die Einheitsvektoren in dieses Kroneker Delta um und das sagt mir dann was 0 ist und was nicht. Aber ob das jetzt sauber definiert ist... Kann man das denn noch auf eine andere Art machen?

Als nächstes steht da jetzt folgendes. Aber das scheint mir ein bisschen getürkt.

$\begin{eqnarray*} \sum^3_{i,j=1}a_ib_j\left(\vec e_i\vec e_j\right)=\sum^3_{i=1}a_ib_i\left(\vec e_i\vec e_i\right)=\sum^3_{i=1}a_ib_i \end{eqnarray*}$

so steht's jetzt in der Vorlesung. aber man kann doch nicht einfach die Indizes vertauschen, und dann auch noch die Einheitsvektoren streichen.

Gruß Nickel

22.08.2012, 00:58

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Begriff zu definieren bedeutet, dass man mithilfe von bereits bekannten Begriffen und Symbolen diesen neuen Begriff erklärt. Insbesondere kannst du nicht den Begriff "Skalarprodukt" bzw das zugehörige Symbol " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " bzw " $\begin{eqnarray*} (?,?) \end{eqnarray*}$ " benutzen, um eben diesen neuen Begriff zu erklären.
Das wäre eine Erklärung a la: Ein Apfel ist eine Frucht die aussieht wie ein Apfel.

Zitat:

Original von Nighel123
Aber das scheint mir ein bisschen getürkt.

$\begin{eqnarray*} \sum^3_{i,j=1}a_ib_j\left(\vec e_i\vec e_j\right)=\sum^3_{i=1}a_ib_i\left(\vec e_i\vec e_i\right)=\sum^3_{i=1}a_ib_i \end{eqnarray*}$

Das musst du lesen wie folgt:
Die erste und die mittlere Summe sollen per Definition dasselbe sein/bedeuten wie die letzte Summe.
Mit anderen Worten: Solltest du irgendwo im Folgenden mal etwas sehen das wie
$\begin{eqnarray*} \sum^3_{i,j=1}a_ib_j\left(\vec e_i\vec e_j\right) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \sum^3_{i=1}a_ib_i\left(\vec e_i\vec e_i\right) \end{eqnarray*}$
aussieht, dann ersetze das in Gedanken durch
$\begin{eqnarray*} \sum^3_{i=1}a_ib_i \end{eqnarray*}$ .

In gutem Prosa steht dort, dass ein Symbol " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " zwischen zwei Vektoren oder auch das Klammersymbol " $\begin{eqnarray*} (\vec{a},\vec{b}) \end{eqnarray*}$ " von zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ dadurch erklärt wird, dass du die beiden Vektoren zuerst in Komponenten bezüglich der Basisvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3} \end{eqnarray*}$ ausdrücken sollst und dann das Symbol durch
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^3a_ib_i \end{eqnarray*}$
ersetzen sollst. Damit ist das neue Symbol " $\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b} \end{eqnarray*}$ " bzw " $\begin{eqnarray*} (\vec{a},\vec{b}) \end{eqnarray*}$ " vollständig durch bereits bekannte Dinge erklärt. Abkürzend schreibt man daher oft so etwas wie
$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b}:=\sum\limits_{i=1}^3a_ib_i \end{eqnarray*}$
[sofern schonmal gesagt wurde, dass $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ die Komponenten $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ hat etc].

Zitat:

Original von Nighel123
so steht's jetzt in der Vorlesung. aber man kann doch nicht einfach die Indizes vertauschen, und dann auch noch die Einheitsvektoren streichen.

Doch, in einer Definition kannst du alles machen, sofern es dem entspricht was du definieren willst.

22.08.2012, 08:39

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke!

Neue Frage »

Antworten »

Definition Skalarprodukt

Verwandte Themen