Maximum-Likelihood-Schätzung

19.08.2012, 14:33

breezy91

Maximum-Likelihood-Schätzung

Hallo, bräuchte einmal ein klein wenig Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Eine Lostrommel mit 100 Losen enthält n Lose bei denen man gewinnt. Es werden zwei Lose gekauft, ein Gewinn und eine Niete. Ermitteln Sie den zugehörigen Maximum-Likelihood-Schätzer für n.

So habe mir jetzt überlegt dies mit der Binominialverteilung zu approximieren, warum weiß ich selber nicht so genau, die Aufgabe sagt mir nicht mit welcher Verteilung ich es machen sollte und Binominialverteilung sieht erstmal leichter aus wie Poisson oder exp und Konsorten.

Naja nun zu meiner Rechnung:

Offensichtlich möchte ich von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}*p*(1-p)^(n-1)* \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} *p^2*(1-p)^(n-2) \end{eqnarray*}$

ein Maximum bestimmen, wobei hier n=100 ist und nicht die gesuchte Größe n. diese würde ich dann über das p "zurückrechnen"
nach ein wenig umformung komme ich letztendlich auf folgendes:

247500*p^3*(1-p)^176.

Die 247500 lass ich erstmal weg und versuche nun ein Maximum von p^3*(1-p)^176 zu finden?

Stimmt meine Vorgehensweise bis zu diesem Punkt?
würde ab hier dann die Ableitung bilden, nur weiß ich leider nicht wie ich in reihen ableite (würde die (1-p)^176 mit binomischenlehrsatz auf reihe bringen, und dann einfach in der reihe differenzieren wenn dies möglich ist)

lg breezy

19.08.2012, 14:51

HAL 9000

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Warum approximieren, wenn man genau rechnen kann. Viel aufgezählt hier

Zitat:

Original von breezy91
So habe mir jetzt überlegt dies mit der Binominialverteilung zu approximieren, warum weiß ich selber nicht so genau, die Aufgabe sagt mir nicht mit welcher Verteilung ich es machen sollte und Binominialverteilung sieht erstmal leichter aus wie Poisson oder exp und Konsorten.

aber die richtige Verteilung ist nicht dabei. Die muss auch gar nicht in der Aufgabenstellung genannt werden, sie ergibt sich aus dem Sachverhalt - die hypergeometrische Verteilung:

Es wird zweimal gezogen ohne Zurücklegen, aus einer Trommel mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Gewinnen und $\begin{eqnarray*} 100-n \end{eqnarray*}$ Nieten. Die Wahrscheinlichkeit für ein Gewinnlos unter diesen zwei gezogenen Losen (und damit die Likelihoodfunktion) ist

$\begin{eqnarray*} L(n) = \frac{\binom{n}{1}\binom{100-n}{1}}{\binom{100}{2}} = \frac{n(100-n)}{4950} \end{eqnarray*}$ .

19.08.2012, 15:00

breezy9

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gut diese verteilung hatten wir leider nicht. wir kennen bisher nur exp, normal, gleich, poisson und die binominialverteilung. aber so schwer sieht sie zumindest mal nicht aus. danke dir werde mir das mal auf wiki durchlesen.
danke für die schnelle antwort smile

19.08.2012, 21:02

Gästin

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Hi

Du hast nicht genau spezfiziert, wie du das Maximum finden willst (auflösen??)

Du musst einfach die Likelihood Funktion nach dem gesuchten Parameter ableiten (bzw kannst du hier ja die Log Likelihood Funktion ableiten) und gleich Null setzen. Dann löst man nach dem gesuchten Parameter auf.

Lg

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