Doppelpost! Messbarkeit zeigen

19.08.2012, 15:43	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit zeigen Meine Frage: Betrachte die Wahrscheinlichkeitsräume $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{A},P), (\Omega',\mathcal{B},P') \end{eqnarray}$ , die Indikatorfunktion $\begin{eqnarray} \chi_{A\times B}(x,y), A\in\mathcal{A}, B\in\mathcal{B} \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} \mathcal{A}-\mathcal{B} \end{eqnarray}$ -messbare Funktion $\begin{eqnarray} T\colon\Omega\to\Omega' \end{eqnarray}$ sowie die Funktion $\begin{eqnarray} g\colon\Omega'\times\Omega'\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Setze für beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray} \eta\in\Omega' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(y,\eta)=E(\chi_{A\times B}(x,\eta)\|T(x)=y) \end{eqnarray}$ . Zeige, daß $\begin{eqnarray} g(y,\eta)=h(y)\cdot\chi_{B}(\eta) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h\geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h(y)=P(A\|T(x)=y) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray}$ -messbar ist. Meine Ideen: Hallo! Ich habe mir da etwas überlegt. Ich wüsste gerne, ob das so stimmt. $\begin{eqnarray} g(y,\eta)=\begin{cases}P(A\|T(x)=y)=E(\chi_A(x)\|T(x)=y), & \mbox{falls }\eta\in B\\0, & \mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ Und das zeigt doch eigentlich auch schon, daß $\begin{eqnarray} g(y,\eta) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray}$ -messbar ist! Denn $\begin{eqnarray} E(\chi_A(x)\|T(x)=y)=q(y) \end{eqnarray}$ für eine $\begin{eqnarray} \mathcal{B}-\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ -messbare Funktion $\begin{eqnarray} q\colon\Omega'\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ (sog. faktorisierte bedingte Erwartung) und falls $\begin{eqnarray} g(y,\eta)\equiv 0 \end{eqnarray}$ , so gilt für ein beliebiges $\begin{eqnarray} C\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} g^{-1}(C,\eta)=\left\{w^\in\Omega'\|0\in C\right\}=\begin{cases}\Omega'\in\mathcal{B}, & 0\in C\\\emptyset\in\mathcal{B}, & 0\notin C\end{cases} \end{eqnarray}$ Ich merke gerade, daß es so wohl nicht stimmen kann, denn $\begin{eqnarray} q(T) \end{eqnarray}$ ist ja eine $\begin{eqnarray} \sigma(T) \end{eqnarray}$ -meßbare Funktion und keine $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray}$ -meßbare. Allerdings stelle ich auch gerade fest, daß nach Voraussetzung ebenfalls gelten soll, daß $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ irgendeine $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray}$ -meßbare Funktion ist. Demnach hat man ja dann einfach $\begin{eqnarray} g(y,\eta)=\begin{cases}h(y), & \eta\in B\\0, & \eta\notin B\end{cases} \end{eqnarray}$ und somit liegt in beiden Fällen eine $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ -meßbare Funktion vor. Korrekt? edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.

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