Integral

19.08.2012, 16:37

Klösp

Integral

Edit (mY+): Hilfeersuchen - vor allem im Titel - sind unnötig und werden entfernt.

Hallo,

ich versuche folgendes Integral zu lösen :
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{a-x^2}{1+x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

So richtig weiß ich aber noch nicht wie ich das anstellen soll.
Mein Ansatz ist, dass ich das irgendwie auf das arctan-integral zurückführen muss.

Bisher hab ich folgendes Versucht, wobei ich keine Ahnung hab ob das richtig ist.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{a}{1+x^2}+\frac{-x^2}{1+x^2}+ \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! a*arctan(x)+\frac{-x^2}{1+x^2}+ \, dx \end{eqnarray*}$

Da komm ich aber nicht mehr weiter was ich mit dem Rest machen soll.

Oder ist der Ansatz ganz falsch?

Danke im Vorraus

19.08.2012, 16:40

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hilfe bei Integral
Hi,

probier es mal mit der Substitution $\begin{eqnarray*} \rm x=tanu \end{eqnarray*}$ smile

19.08.2012, 16:43

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hilfe bei Integral
Der Ansatz ist soweit wohl okay. Bloß falsch aufgeschrieben, denn wenn du den Term a/(1+x²) bereits integriert hast, darf da natürlich kein Integralzeichen mehr stehen, das sich auf diesen Term bezieht.

Jedenfalls: Mit "dem Rest" machst du jetzt einfach Polynomdivision. Dann kommst du wohl weiter.

19.08.2012, 16:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hilfe bei Integral

Zitat:

Original von Mulder
Mit "dem Rest" machst du jetzt einfach Polynomdivision.

Das ist eigentlich bereits ganz am Anfang die beste Idee. Augenzwinkern

20.08.2012, 13:16

Klösp

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

erstmal schonmal vielen Dank für die Antworten:

Ich denke das Integral hab ich gelöst bekommen, allerdings gibt es bei der Aufgabe noch ein paar Unklarheiten. Wär nett wenn mal jemande ein Blick drauf werfen könnte.

Zitat:

Wir betrachten die reelle Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a-x^2}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

mit a>0
a) Begrunden Sie, dass der Graph der Funktion f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
b) Welchen Flacheninhalt schließt der Graph der Funktion f mit seiner horizontalen Asymptote für $\begin{eqnarray*} x \Rightarrow \pm \infty \end{eqnarray*}$ ein?
c) Bestimmen Sie die Konstante a so, dass die Funktion f Nullstellen bei +- 3 hat.

zu a: da müsste ja f(x)=f(-X) sein.

Das hab ich beispielhaft mit a=1 für

f(2)=-3/5 f(-2)=-3/5
f(5)=-24/26 f(-5)=-24/26

Aber gibt es auch eine Möglichkeit das allgemein als Beweis zu schreiben?

zu b:
Hab da dann erstmal mit Polynomdivison weitergemacht wo ich als Ergebnis" -1 Rest 1" bekommen.

und damit:

$\begin{eqnarray*} = a*arctan(x)+\int_a^b \! -1+\frac{1}{1+x^2} dx =a*arctan(x)-x+arctan(x) \end{eqnarray*}$

Für die Asymptote muss ich wenn im Zähler und im Nenner die höchste Potenz gleich ist gucken was davor steht.

Daher müsste die Asymptote y=-1 sein.

Um die Fläche zu errechnen müsst ich ja folgendes Ausrechenen:

$\begin{eqnarray*} A=a*arctan(S2)-S2+arctan(S2)-a*arctan(S1)-S1+arctan(S1)-(S2-S1) \end{eqnarray*}$

Hab ich jetzt solange ich nur weiß, dass a positiv ist noch die Möglichkeit weiter zu rechnen.
Denn ich wüsste jetzt nich wie ich da Schnittpunkte für die Grenzen ausrechen soll.

zu c:

Das muss ja denke ich der Zähler =0 werden, also

für x dann 3 eingesetzt
a-3^2=0
a=3^2
a=9

Vielen dank im Vorraus

24.08.2012, 16:50

Klösp

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zu b

hab das ganze jetzt versuch noch ein weing weiter zu rechnen.

$\begin{eqnarray*} \frac{a-x^2}{1+x}=0 a-x^2=1+x a=x^2+x+1 \frac{(x^2+x+1)-x^2}{1+x} Schnittpunkte suchen: \frac{(x^2+x+1)-x^2}{1+x}=-1 \frac{(x^2+x+1)-x^2}{1+x}+1=0 \end{eqnarray*}$

Dafür lassen sich aber keine Nullstellen finden.

Hab ich irgendwo voher schon ein Fehler drin?

27.08.2012, 14:54

Klösp

Auf diesen Beitrag antworten »

So jetzt aber:

$\begin{eqnarray*} \frac{a-x^2}{1+x}=-1 a-x^2=-1-x a+1=x^2-x \end{eqnarray*}$

Dann Quadratische Ergänzung:
$\begin{eqnarray*} a+1,25=x^2-x+0,25 a+1,25=(x-0,5)^2 \sqrt[2]{a+1,25}=x-0,5 0,5\pm \sqrt[2]{a+1,25}=x 0,5+ \sqrt[2]{a+1,25}=x1 0,5- \sqrt[2]{a+1,25}=x2 \end{eqnarray*}$

eingesetzt in
$\begin{eqnarray*} [-x+a*arctan(x)+arctan(x)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-(0,5+ \sqrt[2]{a+1,25}+a*arctan(0,5+ \sqrt[2]{a+1,25})+arctan(0,5+ \sqrt[2]{a+1,25}) -(-(0,5- \sqrt[2]{a+1,25}+arctan(0,5- \sqrt[2]{a+1,25})+arctan(0,5- \sqrt[2]{a+1,25})) \end{eqnarray*}$

Ist das vom Prinzip jetzt so richtig und sieht da jemand noch was wie man das vereinfachen könnte?

Danke im Vorraus

Neue Frage »

Antworten »

Integral

Verwandte Themen