Grenzwert, Monotonie - Beweis

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Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert, Monotonie - Beweis
Meine Frage:
Hi,

mal wieder ein Anfängerbeweis. Wenn
und
für alle die n die nicht endlich sind

So auch

Meine Ideen:


= a bedeutet ja

Analog gilt doch dann:
= b


Dies bedeutet:



Folglich:


Entsprechend muss dann a < b sein. Ist das so richtig bewiesen?

Danke wie immer für eure Hilfe smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Mal davon abgesehen, dass Du wie selbstverständlich mit demselben rechnest und die im allgemeinen nicht identisch sind, kann ich deine Schlussfolgerung nicht nachvollziehen.
Beispielsweise ist 2-1<3 und 1-1<4 aber 2>1

Ein Widerspruchsbeweis erscheint mir hier die einfachere Variante zu sein.
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Mal davon abgesehen, dass Du wie selbstverständlich mit demselben rechnest und die im allgemeinen nicht identisch sind, kann ich deine Schlussfolgerung nicht nachvollziehen.
Beispielsweise ist 2-1<3 und 1-1<4 aber 2>1

Ein Widerspruchsbeweis erscheint mir hier die einfachere Variante zu sein.


Ok du hast recht, ich versuche es gerade mit dem Widerspruchsbeweis. Aber darf ich nicht das selbe eta und epsilon annehmen? Denn es heißt ja "für alle.."?
Das wäre für mich beim Widerspruchsbeweis sehr hilfreich
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Du schon richtig erkannt hast: Es muss für alle gelten, also speziell auch für dieselben Werte. Mich hat nur gestört, dass Du das im ersten Posting nirgends erwähnt hast Augenzwinkern
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert, Monotonie - Beweis
Zitat:
Wie Du schon richtig erkannt hast: Es muss für alle gelten, also speziell auch für dieselben Werte. Mich hat nur gestört, dass Du das im ersten Posting nirgends erwähnt hast


Ok, dann wage ich mal einen neuen Versuch!
Ich bin mal deinen Tipp mit dem Widerspruchsweis gefolgt.
Ich nehme nun an es gilt:

(also die Negation zu )

Hier muss ich doch nun Schlüsse ziehen, bis es zu einem Widerspruch kommt?

Da Muss doch gelten:




Da Definitionsgemäß Epsilon bzw. Eta alle Werte über Null annehmen kann, so kann man doch annehmen, dass = .

So ab hier bin ich mir nicht mehr ganz sicher, weils doch ganz schön unübersichtlich wird.

Wenn Dann:



Da ich ja bei - Epsilon ein Minus vor dem Betrag hatte, war ich mir nicht sicher, wie ich das handhabe. Durfte ich dass so einfügen?

Nun würde ich weiterschließen, dass ja
Folgendes bedeutet:



Beide Kombinationen würden zu Widersprüchen führen. Doch war es überhaupt legitim Epsilon als Betrag zu definieren? verwirrt Und wie gesagt, habe ich das ganze dann richtig eingesetzt?

Naja, ich hoffe du/ihr könnt mir weiterhelfen smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mal so sagen: Insgesamt etwas besser, aber noch immer nicht das Gelbe vom Ei.
Zum einen ist dein von n abhängig und damit keine Konstante, zum anderen kann doch auch gelten, was in deiner Ungleichung zu führt und somit genau das Gegenteil deiner Ungleichung aussagen würde.

Richtig ist: Du musst ein günstiges wählen.
Überleg Dir einmal, was genau behauptet wird: Eine Folge verläuft unterhalb einer anderen und ist im Grenzfall plötzlich über ihr.
Wieso kann das nicht passieren?
 
 
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Ich würde mal so sagen: Insgesamt etwas besser, aber noch immer nicht das Gelbe vom Ei.
Zum einen ist dein von n abhängig und damit keine Konstante, zum anderen kann doch auch gelten, was in deiner Ungleichung zu führt und somit genau das Gegenteil deiner Ungleichung aussagen würde.

Richtig ist: Du musst ein günstiges wählen.
Überleg Dir einmal, was genau behauptet wird: Eine Folge verläuft unterhalb einer anderen und ist im Grenzfall plötzlich über ihr.
Wieso kann das nicht passieren?


Naja, also das kann doch deshalb nicht der Fall sein, weil die Folge monoton ansteigt? Und nicht "sprunghaft". Zudem wurde ja eigentlich schon verlangt, dass für alle n die nicht endlich sind gilt.
Aber du sagtest Epsilon bzw. Eta ist keien Konstante, darf ich nun eigentlich und umgekehrt wählen? Und darf ich dabei bzw. auch so wählen, dass sie kleiner bzw. , sind?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wo steht in obiger Aufgabe etwas von Monotonie?
Das darfst Du beliebig wählen, nur muss es für die betrachteteten n konstant sein. Der Satz sagt ja, dass es zu diesem ein gibt (und zu anderem möglicherweise ein anderes . Wenn es nun selber von n abhängt, wirst Du das kaum hinbekommen.
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert, Monotonie - Beweis
Bevor ich mich noch weiter vergaloppiere muss ich noch eine Überlegung anstellen. Die Folge a_n ist stets kleiner oder gleich der Folge b_n. Wenn nun aber der Grenzwert von a_n plötzlich größer als der von b_n ist. Muss es dann nicht einen Punkt a_n>b_n geben?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist der Knackpunkt, den es zu zeigen gilt. Anders kriegst Du ja keinen Widerspruch zustande.

Wenn a (bzw. b) Grenzwert der Folge ist, dann müssen die Folgeglieder beliebig Nahe an diesem Wert liegen. Sofern a>b hat das aber den von Dir angesprochenen Widerspruch zur Folge. Du musst das "nur noch" in entsprechende Formeln packen.
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Genau das ist der Knackpunkt, den es zu zeigen gilt. Anders kriegst Du ja keinen Widerspruch zustande.

Wenn a (bzw. b) Grenzwert der Folge ist, dann müssen die Folgeglieder beliebig Nahe an diesem Wert liegen. Sofern a>b hat das aber den von Dir angesprochenen Widerspruch zur Folge. Du musst das "nur noch" in entsprechende Formeln packen.


Ok, wie sieht es dann aus wenn ich wähle. Wäre das zulässig?
So das es zb. hiese:

Das wäre natürlich nur für b<0 möglich. Aber so könnte man einen Widerspruch erzeugen.
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Daniel1
Zitat:
Original von Helferlein
Genau das ist der Knackpunkt, den es zu zeigen gilt. Anders kriegst Du ja keinen Widerspruch zustande.

Wenn a (bzw. b) Grenzwert der Folge ist, dann müssen die Folgeglieder beliebig Nahe an diesem Wert liegen. Sofern a>b hat das aber den von Dir angesprochenen Widerspruch zur Folge. Du musst das "nur noch" in entsprechende Formeln packen.


Ok, wie sieht es dann aus wenn ich wähle. Wäre das zulässig?
So das es zb. hiese:

Das wäre natürlich nur für b<0 möglich. Aber so könnte man einen Widerspruch erzeugen.


*edit*

Diese Annahme würde mich ohnehin nicht weiterbringen. Aber ist es möglich anzunehmen, dass z.B. und ist? Normal ja schon, oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Kurz und knapp: Nö
Du sollst es doch für beliebige Folgen zeigen und die können doch positive wie negative Werte haben.

Um das ganze etwas abzukürzen: Wenn a>b wäre, dann gibt es einen Abstand zwischen a und b. In diesem Abstand passiert etwas mit den Folgen, was zum Widerspruch führt.
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Kurz und knapp: Nö
Du sollst es doch für beliebige Folgen zeigen und die können doch positive wie negative Werte haben.

Um das ganze etwas abzukürzen: Wenn a>b wäre, dann gibt es einen Abstand zwischen a und b. In diesem Abstand passiert etwas mit den Folgen, was zum Widerspruch führt.


Ja, in diesem Bereich "überspringt" doch a_n die Folge b_n. Aber wie kann ich das in die Formel einsetzen?
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