Funktion auf Stetigkeit prüfen

21.08.2012, 09:46	maxamillion	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion auf Stetigkeit prüfen Meine Frage: Hallo, ich würde sehr gerne diese Funktion auf Stetigkeit überprüfen: $\begin{eqnarray} <br /> f(x,y)= \begin{cases} ye^x & falls \quad x > 0 \\<br /> 0 & falls \quad x \leq 0 <br /> \end{cases} <br /> \end{eqnarray}$ Habe auch einen guten Ansatz, bin mir aber nicht sicher ob das was ich geschrieben habe auch stimmt?!? Kann mir jemand sagen ob meine Antwort, so wie sie da steht, Sinn macht?? VG Maxamillion Meine Ideen: Ich unterscheide 2 Fälle für $\begin{eqnarray} y_0 \neq 0 \end{eqnarray}$ 1 Fall: $\begin{eqnarray} x>0 : \lim_{(x,y) \to (0,y_0)} \|f(x,y)-f(0,y_0)\| =\lim_{(x,y) \to (0,y_0)} \|ye^x-0\|=y \end{eqnarray}$ 2 Fall: $\begin{eqnarray} x\leq0 : \lim_{(x,y) \to (0,y_0)} \|f(x,y)-f(0,y_0)\| = \|0-0\|=0 \end{eqnarray}$ Ich unterscheide 2 Fälle für $\begin{eqnarray} y_0 = 0 \end{eqnarray}$ 1 Fall: $\begin{eqnarray} x>0 : \lim_{(x,y) \to (0,0)} \|f(x,y)-f(0,0)\| =\lim_{(x,y) \to (0,0)} \|0-0\|=0 \end{eqnarray}$ 2 Fall: $\begin{eqnarray} x\leq0 : \lim_{(x,y) \to (0,0)} \|f(x,y)-f(0,0)\| = \|0-0\|=0 \end{eqnarray}$
21.08.2012, 10:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion auf Stetigkeit prüfen Hallo, ich kann gerne meine Antwort wiederholen: Eine mehrdimensionale Funktion auf Stetigkeit überprüfen Wenn du nur wissen möchtest, ob die Funktion stetig ist, reicht es aus, Unstetigkeit in einem bestimmten Punkt nachzuweisen. Oder möchtest du untersuchen, an welchen Stellen die Funktion stetig ist? mfg, Ché Netzer
21.08.2012, 13:11	maxamillion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion auf Stetigkeit prüfen Entschuldige, ich habe meine Frage evtl. falsch formuliert, natürlich wollte ich untersuchen an welchen Stellen die Funktion stetig ist! Sehr aufmerksam von dir! Meinen Rechnungen zufolge sollte dies auf x<=0 sein und auf x>0 mit y=0. Was sagst du dazu? Habe meine Frage erneut reingestellt, da ich meine Funktion hier in Latex Schreibweise stehen habe und das natürlich besser aussieht VG Max
21.08.2012, 13:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion auf Stetigkeit prüfen Dann ist offenbar nur der Fall $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ interessant. Ich hoffe ich verrate damit nichts, wenn ich annehme, dass deine Vermutung ist, dass die Funktion in $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ stetig ist, und für $\begin{eqnarray} y\neq0 \end{eqnarray}$ nicht. Für die Unstetigkeit musst du dir nur eine einzige Folge $\begin{eqnarray} (x_n,y_n)\to(0,y_0) \end{eqnarray}$ suchen, mit $\begin{eqnarray} f(x_n,y_n)\not\to f(0,y_0) \end{eqnarray}$ . Für alle $\begin{eqnarray} y\neq0 \end{eqnarray}$ musst du das allgemein zeigen. Hier würde ich Grenzwertsätze empfehlen. Mit der Abschätzung $\begin{eqnarray} 0\leq\lvert y\mathrm e^x\rvert \end{eqnarray}$ brauchst du dann auch nicht zwischen $\begin{eqnarray} x\leq0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ zu unterscheiden (insbesondere ist das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ja nicht fest, also kannst du die Fallunterscheidung nicht vor dem Grenzwert machen). Zu $\begin{eqnarray} \text{\LaTeX} \end{eqnarray}$ : Hier im Forum solltest du innerhalb des Codes keine Zeilenumbrüche einfügen; ich würde auch \text{...} empfehlen; dann sähe das so aus: $\begin{eqnarray} f(x,y)=\begin{cases}y\mathrm e^x&\text{falls }x>0\\0&\text{falls }x\leq0.\end{cases} \end{eqnarray}$ (in pdf-Dateien sieht der Textabschnitt dann sogar noch besser aus...)

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