Riemann integrierbar

21.08.2012, 11:14

Steffe2361

Riemann integrierbar

Hi,

Meine Frage lautet:

"Geben Sie Intervalle für die folgende Funktion an, auf denen diese Riemann integriebar sind

$\begin{eqnarray*} f(x) := e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Prinzipiel ist es doch Riemann integriebar, wenn das Infimum gleich dem Supremum ist.

Aber wie kann ich das zeigen?

Habe mir die Funktion aufgezzeichnet und sehe ein Supremum bei 1 und ansonsten ist es null

[attach]25574[/attach]
Danke für eure Hilfe

21.08.2012, 15:08

system-agent

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RE: Riemann integrierbar

Zitat:

Original von Steffe2361
"Geben Sie Intervalle für die folgende Funktion an, auf denen diese Riemann integriebar sind

$\begin{eqnarray*} f(x) := e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

Was soll denn das für eine Frage sein? Nimm irgendein Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ ; bedenke, die Funktion ist stetig...

Zitat:

Original von Steffe2361
Prinzipiel ist es doch Riemann integriebar, wenn das Infimum gleich dem Supremum ist.

Was für ein Infimum und Supremum?

Zitat:

Original von Steffe2361
Habe mir die Funktion aufgezzeichnet und sehe ein Supremum bei 1 und ansonsten ist es null

Nocheinmal, was für ein Supremum meinst du?
Ausserdem: Die Exponentialfunktion nimmt den Wert Null an, soso...

21.08.2012, 15:55

Leopold

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RE: Riemann integrierbar

Zitat:

Original von system-agent
Was soll denn das für eine Frage sein? Nimm irgendein Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ ; bedenke, die Funktion ist stetig...

Vermutlich ist eher an unbeschränkte Integrationsintervalle gedacht.

23.08.2012, 15:39

steffen2361

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RE: Riemann integrierbar
Hey, danke für eure Antworten.

Zitat:

Was soll denn das für eine Frage sein? Nimm irgendein Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ ; bedenke, die Funktion ist stetig...

Das habe ich mir auch schon gedacht, war mir aber nicht sicher ob das stimmt

Zitat:

Nocheinmal, was für ein Supremum meinst du?

Hierbei wollte ich die Definiton des Riemannsches Integral in einem Satz erklären, ist mir aber Misslungen.

Danke

mfg
steffen

23.08.2012, 22:24

system-agent

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RE: Riemann integrierbar

Zitat:

Original von steffen2361

Zitat:

Was soll denn das für eine Frage sein? Nimm irgendein Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ ; bedenke, die Funktion ist stetig...

Das habe ich mir auch schon gedacht, war mir aber nicht sicher ob das stimmt

Ich denke mal dass ihr in der Vorlesung bewiesen habt, dass jede stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f: [a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ Riemann-Integrierbar ist ?

Wie allerdings Leopold bemerkte: Falls es um unbeschränkte Intervalle gehen sollte, wird es interessanter.

24.08.2012, 14:11

steffen2361

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RE: Riemann integrierbar
Nein, ich denke bei der Aufgabe ginge es um geschlossene Intervalle (eine Kollegin hat es auch so gemeint). Habe mir aber trotzdem den Stetigkeitsbeweis nochmal angesehen smile

Aber rein aus Interesse, wie kann ich mir das bei unbeschränkten Intervallen vorstellen?
Laut meiner Definition gilt doch:

f ist R-integriebar <=> beschränkt und stetig (+ eindlich viele Unstetigkeitsstellen)

24.08.2012, 16:15

system-agent

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RE: Riemann integrierbar

Zitat:

Original von steffen2361
Laut meiner Definition gilt doch:

f ist R-integriebar <=> beschränkt und stetig (+ eindlich viele Unstetigkeitsstellen)

Vergiss dabei nicht die Voraussetzungen an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , sprich: wo soll es definiert sein?

Zu unbeschränkten Integrationsintervallen braucht es eine eigene Definition, siehe hier, die im Wesentlichen versucht diesen "unangenehmen Fall" wieder auf den angenehmen Fall eines kompakten Integrationsintervalls zurückzuspielen.

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