Konvergenz von Reihen

21.08.2012, 12:05

Mike_Mike

Konvergenz von Reihen

Hallo!
Ich habe hier drei Reihen, die ich auf Konvergenz testen soll. Es wäre sehr nett, wenn ihr mir sagen könntet, ob ich das soweit richtig gemacht habe!

Erste Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{n}\frac{n+2}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ Es gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{1+\frac{2}{n}}{n} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \,a_{n}>\frac{1}{n} \quad \forall \,n \in \mathbb N \quad \end{eqnarray*}$ Damit ist die Reihe divergent, da auch diese harmonische Reihe divergent ist.

Zweite Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{n}\frac{n^{2}}{n^{5}+3} \end{eqnarray*}$ Es gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{1}{n^{3}+\frac{3}{n^{2}}} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \,a_{n}<\frac{1}{n^{3}} \quad \forall \,n \in \mathbb N \quad \end{eqnarray*}$ Damit ist die Reihe konvergent, da auch diese harmonische Reihe konvergent ist.

Dritte Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{n}(-1)^{n}\frac{n^{3}+n-1}{2n^{3}+4n^{2}+1} \end{eqnarray*}$ Es gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n}=(-1)^{n}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{3}}}{2+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^{3}}} \end{eqnarray*}$

Da der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ nicht gegen 0 geht ist die Reihe divergent.

Vielen Dank schonmal!

21.08.2012, 12:32

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen
Im Prinzip alles richtig, wobei die Reihe über $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ keine harmonische Reihe ist. Augenzwinkern

21.08.2012, 12:40

Mike_Mike

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Danke dir! Aber ist die harmonische Reihe nicht allgemein $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}=\frac{1}{k^{\alpha}}\quad? \end{eqnarray*}$

Übrigens muss es bei meinen Reihen im ersten Post überall heißen: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}... \end{eqnarray*}$

21.08.2012, 13:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mike_Mike
Danke dir! Aber ist die harmonische Reihe nicht allgemein $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}=\frac{1}{k^{\alpha}}\quad? \end{eqnarray*}$

OK, habe gerade auf Wiki nachgesehen, das ist eine Definitionsfrage. Ich beziehe den Begriff der "harmonischen Reihe" immer auf die Reihe mit alpha=1.

Zitat:

Original von Mike_Mike
Übrigens muss es bei meinen Reihen im ersten Post überall heißen: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}... \end{eqnarray*}$

Dann hast du aber ein Problem mit der ersten Reihe. Augenzwinkern

21.08.2012, 13:13

Mike_Mike

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Es muss natürlich $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ bei den ersten beiden Reihen und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \end{eqnarray*}$ bei der dritten sein Finger1

21.08.2012, 15:47

Mike_Mike

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Hätte da noch eine Frage zu einer Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}x^{n^{n}} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist das Intervall für x bei welchem die Reihe konvergiert. Im Prinzip ist die Reihe ja recht einfach und das Intervall sollte m.E. (-1,1) sein. Allerdings fällt mir nicht ein, mit welcher Methode ich das zeigen kann. Wo ist hier das $\begin{eqnarray*} a_{n}? \end{eqnarray*}$

21.08.2012, 15:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mike_Mike
Wo ist hier das $\begin{eqnarray*} a_{n}? \end{eqnarray*}$

Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} x^{n^{n}} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

21.08.2012, 16:19

Mike_Mike

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Hmm, das erschließt sich mir leider noch nicht... Die allgemeine Potenzreihe hat die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}*x^{n} \end{eqnarray*}$ , wenn der Entwicklungspunkt 0 ist. Mit $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ kann ich jetzt den Konvergenzradius bestimmen und die Randpunkte dann gesondert prüfen. Aber wie mache ich das mit dieser Potenzreihe? Habe ich ein Brett vor dem Kopf? verwirrt

22.08.2012, 08:41

klarsoweit

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Ahh. Du beziehst jetzt den Ausdruck a_n auf das a_n in der allgemeinen Potenzreihe. Nun denn. Offensichtlich läßt sich deine Reihe nicht in diese Form pressen. Gleichwohl ist es eine Reihe, über deren Konvergenzverhalten man sich mit den verschiedenen Methoden Gedanken machen kann.

23.08.2012, 09:22

Mike_Mike

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Reicht es hier nicht vielleicht einfach schon den Vergleich mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}x^{k} \end{eqnarray*}$ zu ziehen? Wenn diese Reihe für k=0 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann gilt das doch auch für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}x^{k^{k}} \end{eqnarray*}$ . Oder?

23.08.2012, 10:05

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Zitat:

Original von Mike_Mike
Reicht es hier nicht vielleicht einfach schon den Vergleich mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}x^{k} \end{eqnarray*}$ zu ziehen? Wenn diese Reihe für k=0 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann gilt das doch auch für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}x^{k^{k}} \end{eqnarray*}$ . Oder?

Im Prinzip ist der Gedanke richtig. Die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}x^{k^{k}} \end{eqnarray*}$ ergibt sich schon daraus, daß alle Summanden von dieser Reihe in $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}x^{k} \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

Jetzt mußt du nur noch schauen, wie das mit dem Konvergenzverhalten für $\begin{eqnarray*} x \notin (-1,1) \end{eqnarray*}$ aussieht.

23.08.2012, 10:20

Mike_Mike

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Nun, für alle $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \leq -1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \left| x^{(k+1)^{(k+1)}} \right | \geq \left| x^{k^{k}} \right| \end{eqnarray*}$ . Dadurch divergiert die Reihe dann.

23.08.2012, 11:39

klarsoweit

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OK. Du kannst auch $\begin{eqnarray*} \sum x^k \end{eqnarray*}$ als divergente Minorante nehmen.

23.08.2012, 11:59

Mike_Mike

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Super, danke dir für die Unterstützung!

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