Fourierreihen

21.08.2012, 13:57

Jonnyfd

Fourierreihen

Meine Frage:
Hallo, bin grade am alte Klausuren durchrechnen auf eine Aufgabe gestoßen, die ich gar nicht beherrsche.

Aufgabe:

Wir betracheten die 2-pi periodische Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die auf $\begin{eqnarray*} \left[-2\pi , 2\pi\right) \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{ \begin{array}{c} -1+cos(x)\mbox{ } fuer \mbox{ } -\pi\leq x<0 \\ 1+cos(x)\mbox{ } fuer \mbox{ } 0\leq x<\pi \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

gegeben ist.

a) skizzieren Sie den Graphen
b) Bestimmen Sie die Fourierreihe von f
c) Konvergiert die Fourierreihe? Geben Sie gegebenenfalls ihre Grenzfunktion auf [-pi,pi]

Meine Ideen:
Das mit´m skizzieren habe ich soweit hinbekommen.

bei b) fangen meine Probleme schon bei den Sprungstellen der Funktion an
f hat in k*pi mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine Sprungstelle

wie kann ich bestimmen, ob f(x) gleichmäßig konvergiert und wie berechte ich dann die Koeffiziente a_n und b_n unter Berücksichtigung der Sprungstellen?

Für ein paar Denkanstöße bin ich immer sehr dankbar

Gruß
Jonny

21.08.2012, 14:12

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourierreihen
Hallo,

bei dem Intervall meintest du wohl $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi) \end{eqnarray*}$ .
Hast du denn die Formel zur Berechnung der Koeffizienten?
Die Sprungstelle spielt ja bei deren Berechnung mit Integralen keine Rolle.

mfg,
Ché Netzer

21.08.2012, 16:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Es empfiehlt sich,

$\begin{eqnarray*} g(x) = f(x) - \cos x \end{eqnarray*}$

zu betrachten. Diese Funktion ist ungerade, so daß sich ihre Fourierreihe als reine Sinusreihe herausstellt. Zudem lassen sich die Fourierkoeffizienten leicht berechnen.

22.08.2012, 09:38

Jonnyfd

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die raschen Antworten smile

Ja, beim Intervall habe ich mich vertan, dieser lautet tatsächlich $\begin{eqnarray*} \left[-\pi,\pi\right) \end{eqnarray*}$

die allgemeinen Formeln zur Berechnung der Koeffizienten lauten

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \! f(x)\cdot cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \! f(x)\cdot sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$ .

Verstehe ich das richtig, dass wen g(x) ungerade ist, dass f(x) aufgrund der Symmetrie von cos(x) ebenfalls ungerade ist?

dann währe die Fourierreihe ja nur von einem Koeffizienten abhängig und der währe:

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \! f(x)\cdot sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

Die Funktion f(x) hat aber für zwei Bereiche zwei Funktionsteile, welche Teilfunktion muss ich zur Berechnung wählen?

Gruß
Jonny

22.08.2012, 09:55

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht! Der Cosinus ist eine gerade Funktion. Die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ ist ja einfach

$\begin{eqnarray*} g(x) = \begin{cases} -1 & \mbox{für} \ - \pi \leq x < 0 \\ 1 & \mbox{für} \ 0 \leq x < \pi \end{cases} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ - periodischer Fortsetzung. Und diese Funktion ist offensichtlich ungerade (daß die Ungeradheit durch die Unstetigkeitsstellen leicht gestört ist, ist irrelevant). Somit ist die Fourierreihe von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ eine reine Sinusreihe. Und wenn du $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ erst einmal hast, hast du auch $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos x + g(x) \end{eqnarray*}$

Und die Cosinusreihe besteht nur aus $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ . Anders gesagt: $\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$ , alle andern $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Jonnyfd
Die Funktion f(x) hat aber für zwei Bereiche zwei Funktionsteile, welche Teilfunktion muss ich zur Berechnung wählen?

$\begin{eqnarray*} \int_{- \pi}^{\pi} \ldots = \int_{- \pi}^0 \ldots \ + \ \int_0^{\pi} \ldots \end{eqnarray*}$

EDIT
Schreibfehler ausgebessert

22.08.2012, 09:59

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LeopoldUnd diese Funktion ist offensichtlich gerade (daß die Geradheit durch die Unstetigkeitsstellen leicht gestört ist, ist irrelevant).

Ungerade, oder?

22.08.2012, 10:14

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's ausgebessert.

22.08.2012, 10:58

Jonnyfd

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=cos(x) + g(x) \end{eqnarray*}$

kann ich die Reihe von f(x) = Reihe von cos(x) + Reihe von g(x) beschreiben? Was dann so aussehen würde:

$\begin{eqnarray*} f(x) = cos(x) + \frac{2}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty} {\frac{1+(-1)^n}{n} sin(nx) } \end{eqnarray*}$

die Reihe von g(x) habe ich mit der Formel

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \! sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

berechnet.

Oder ist das ungenügend, weil da noch der Summand cos(x) steht und ich muss die Reihe direkt über f(x) bilden? Dann kämme bei mir folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty } {\frac{1}{n} (3-(-1)^n)sin(nx)} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \! (1+cos(x))sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

Gruß
Jonny

22.08.2012, 11:19

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das zweite stimmt nicht, das erste fast:

Zitat:

Original von Jonnyfd
$\begin{eqnarray*} f(x) = cos(x) + \frac{2}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty} {\frac{1+(-1)^n}{n} sin(nx) } \end{eqnarray*}$

Ich denke, es muß $\begin{eqnarray*} \frac{1 + (-1)^{n+1}}{n} \end{eqnarray*}$ heißen. Und dann läßt sich dieser Term noch stark vereinfachen. Was ist denn für gerade bzw. ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?

22.08.2012, 12:27

Jonnyfd

Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, stimmt. Hab da eine -1 übersehen.

für gerade n ist der Term = 0 und für ungerade n ist der Term = 2/n. Das heisst, dass beim durchlaufen der Summe es vollkommen ausreicht, wenn nur ungerade n betrachtet werden.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty } {\frac{1+(-1)^{n+1}}{n}sin(nx) } = \frac{4}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty } {\frac{1}{2n-1}sin(nx) }= \frac{4}{\pi} \sum\limits_{n=0}^{\infty } {\frac{1}{2n+1}sin((n+1)x) } \end{eqnarray*}$

Somit würde die Reihe folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = cos(x)+ \frac{4}{\pi} \sum\limits_{n=0}^{\infty } {\frac{1}{2n+1}sin((n+1)x) } \end{eqnarray*}$

oder? Ist diese Reihe Ausreichend, oder muss ich doch die zweite Variante wählen.

die zweite Variante habe ich mal nochmal berechnet:

f(x) = \frac{2}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty } {\left( \frac{1}{n}(1+(-1)^{n+1}) + \frac{1}{n^2+1}((-1)^{n+1}-1) \right)sin(nx) }

ist das so richtig?

gruß
Jonny

22.08.2012, 12:44

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jonnyfd
Somit würde die Reihe folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = cos(x)+ \frac{4}{\pi} \sum\limits_{n=0}^{\infty } {\frac{1}{2n+1}sin((\color{red} \text{???} \ \color{black}n+1)x) } \end{eqnarray*}$

Die andere Version kann nicht stimmen. Es fehlen ja die Cosinusglieder. Es muß sich im übrigen ja auch dasselbe ergeben wie mit der ersten Methode.

22.08.2012, 13:49

Jonnyfd

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, na klar. Nicht dran gedacht.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{4}{\pi} \sum\limits_{n=0}^{\infty } {( \frac{1}{2n+1}))sin((2n+1)x) } \end{eqnarray*}$

Hmm, dann verstehe ich nicht, was ich bei der zweiten Versin falsch gemacht habe.

Meine Schritte waren wie folgt:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \! f(x)sin(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \! (1+cos(x))sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \! \left( sin(nx)+cos(x)sin(nx) \right)\, dx= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \! sin(nx) \, dx + \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \! cos(x)sin(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \! sin(nx)\, dx = \frac{2}{n\pi}(1+(-1)^{n+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \! cos(x)sin(nx)\, dx = \frac{2}{\pi}\left[sin(x)sin(nx) - n\int \! sin(x)cos(nx) \, dx\right]_0^{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{\pi}\left[sin(x)sin(nx) + ncos(nx)cos(x) - n^2\int \! sin(nx)cos(x) \, dx\right]_0^{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \! cos(x)sin(nx)\, dx = \frac{2}{(n^2+1)\pi} \left[ sin(nx)sin(x) + ncos(nx)cos(x) \right]_0^{\pi} = \frac{2}{(n^2+1)\pi}((-1)^{n+1}-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b_n =\frac{2}{n\pi}(1+(-1)^{n+1}) + \frac{2}{(n^2+1)\pi}((-1)^{n+1}-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty } {b_n sin(nx)} = \frac{2}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty } {\left( \frac{1}{n}(1+(-1)^{n+1}) + \frac{1}{n^2+1}((-1)^{n+1}-1)\right) sin(nx)} \end{eqnarray*}$

Bitte um nen Hinweis auf meinen Fehler, wenn jemand Zeit hat dies schnell durchzukontrollieren.

Danke im voraus
Gruß
Jonny

22.08.2012, 14:06

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Schon der Anfang ist falsch. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) ~ \dd x = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin(nx) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Und wieder fehlen die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ . Darauf habe ich früher schon hingewiesen.

22.08.2012, 14:16

Jonnyfd

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaach, ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen, dass f(x) ungerade ist. Dabei ist ja nur g(x) ungerade. Hammer

Du hast mir im Bezug auf dieses Thema sehr viel geholfen. Vielen Dank! Wink

Neue Frage »

Antworten »

Fourierreihen

Verwandte Themen