kurze Frage zum Definitionsbereich einer ln-Funktion

01.02.2007, 12:58

Kurvendiskutierer

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kurze Frage zum Definitionsbereich einer ln-Funktion

Hallo!

Ich habe nur eine kurze Frage:
$\begin{eqnarray*} ln(0) \end{eqnarray*}$ existiert ja nicht. Aber muss man bei der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x) = x* \frac{\mid x \mid}{ln(x^2)} \end{eqnarray*}$
wirklich die Null aus dem Def-Beriech rausnehmen? Eigentlich braucht man das ja nicht, weil doch e der ganze Ausdruck 0 wird!
bitte um kurze Hilfestellung

01.02.2007, 13:02

tigerbine

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RE: kurze Frage zum Definitionsbereich einer ln-Funktion
So wie die Funktion dasteht ist sie bei 0 nicht definiert, da ln(0) nicht definiert ist. Desweiteren sind die Nullstellen des ln aus der Definitionsmenge zu nehmen.

01.02.2007, 13:06

sqrt(2)

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... was nichts damit zu tun hat, dass man die Funktion bei 0 durch $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ stetig ergänzen kann, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

01.02.2007, 13:08

Kurvendiskutierer

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ok, die Nullstellen von ln hab ich e nicht im Def-Bereich.
Aber ich bin ein bisschen verwirrt. Wenn ich auf meinem Grafikrechner die Funktion zeichne, gibt es keine Polstelle bei x=0 (also ln(0)). Desweiteren liegt die einzige Nullstelle der Funktion auch bei x=0 und der mein Rechner zeigt dies ohne Probleme an.
Trotzdem x=0 aus demm Def-Bereich rausnehmen?

01.02.2007, 13:11

Kurvendiskutierer

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Zitat:

... was nichts damit zu tun hat, dass man die Funktion bei 0 durch $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ stetig ergänzen kann, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

heißt das, dass im Punkt x=0 eine hebbare Singularität vorliegt?

01.02.2007, 13:14

tigerbine

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Wie könnte man das begründen?

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01.02.2007, 13:16

Kurvendiskutierer

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Das mit der hebbaren Singularität?
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Funktion ist stetig in x=0

01.02.2007, 13:19

tigerbine

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Wie kommst darauf?

Denn auch bei den Grenzwerten steht "0":"0"

01.02.2007, 13:22

Kurvendiskutierer

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achja, stimmt.... mist!
Jetzt bin ich total verwirrt!
Gibts eine Lösung für das Rätsel? Also was ist jetzt bei x=0? Warum zeigt mein Taschenrechner hier 0 an?

Liegt daran, dass der Taschenrechner nen Rundungsfehler oder so hat und für $\begin{eqnarray*} ln(0) = \infty \end{eqnarray*}$ schreibt?

01.02.2007, 13:28

tigerbine

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Aslo auf den Rechner wollen wir mal nicht vertrauen. Aber sind die Zahler und Nenner Funktionen denn Differenzierbar? Könnte man da L'Hospital anwenden?

$\begin{eqnarray*} ln(x^2)' = \frac{1}{x^2}\cdot 2x = \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x\cdot|x|) \end{eqnarray*}$ diff'bar in 0?

01.02.2007, 13:41

Kurvendiskutierer

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Hmm ich weiß, bei Beträgen ist das immer so eine Sache mit der Diff-barkeit.
Am besten teilt man $\begin{eqnarray*} (x\cdot|x|) \end{eqnarray*}$ auf in
$\begin{eqnarray*} (x\cdot x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (x\cdot (-x)) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$
Nun also Links- Rechtsseitiger Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+}} x^2 = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{-}} -x^2 = 0 \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} (x\cdot|x|) \end{eqnarray*}$ ist in 0 diff-bar.
Durch L'Hospital können wir nun den Grenzwert von f(x) mit x gegen 0 anwenden:
\lim_{x \to 0} f(x) = 0
D.h. die Funktion ist stetig in x=0.
Stimmt das?

01.02.2007, 13:47

tigerbine

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Aufteilung ist richtig. Beweis falsch. du zeigst die Stetigkeit. Nicht die Diffbarkeit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2007, 13:54

Kurvendiskutierer

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Ok, also diff'barkeit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^2 - 0}{x - 0} =\lim_{x \to 0^{+}} x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-x^2 - 0}{x - 0} =\lim_{x \to 0^{-}} -x = 0 \end{eqnarray*}$

also ist
$\begin{eqnarray*} [latex](x\cdot|x|) \end{eqnarray*}$ [/latex] diff-bar in x=0

D.h. wir einigen uns jetzt mal:
die Funktion ist diff-bar in x=0
die Funktion ist stetig in x=0 (hebbare Singularität)

ok, aber wie schauts jetzt mit dem Definitionsbereich aus? Kann man hier x=0 auch rausnehmen?

01.02.2007, 14:00

tigerbine

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Nein. Kann man nicht.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = x \end{eqnarray*}$

Sind 2 unterschiedliche Funktionen.

01.02.2007, 14:05

Kurvendiskutierer

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ok. Danke.
Aber trotzdem ist die Funktion diff-bar und stetig in x=0, oder??

Jetzt noch eine Frage:
Wenn im Def-bereich also die 0 nicht drin ist, wie schauts dann mit der Nullstelle von f(x) aus?
Bei f(x) = 0 würde x=0 herauskommen. Existiert diese Nullstelle nun wirklich?

01.02.2007, 14:08

tigerbine

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Zitat:

Aber trotzdem ist die Funktion diff-bar und stetig in x=0, oder??

NEIN, sie ist dort nicht definiert. Man kann ggf. zeigen, dass auch zu ihr eine Funktion g existiert, die diese Lücke behebt.

f hat keine Nullstellen.

01.02.2007, 14:11

Kurvendiskutierer

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D.h.
Wenn wir erstmal den Definitionsbereich (wo u.a. die 0 ausgeschlossen ist) haben, brauchen wir die Funktion in 0 gar nicht mehr betrachten?

01.02.2007, 14:12

Kurvendiskutierer

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bzgl. Stetigkeit und diff-barkeit

01.02.2007, 14:12

tigerbine

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ja.

01.02.2007, 14:25

Kurvendiskutierer

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Zitat:

... was nichts damit zu tun hat, dass man die Funktion bei 0 durch $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ stetig ergänzen kann, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Das verwirrt mich jetzt aber immer noch! Ist das jetzt nun eine hebbare Singularität?

01.02.2007, 14:31

tigerbine

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Dazu müßten wir unsere L'Hospitaldiskussion fertig machen. Dennoch sind das 2 paar Schuhe, siehe mein einfaches Beispiel. Die Funktion f und g sind nicht identisch.

Da hier nach den Eigenschaften der Funktion f gefragt ist, ist es müßig zu überlegen, ob man deren Definitionslücke stetig beheben kann. Es sei denn dies wird in der Aufgabe verlangt.

01.02.2007, 14:33

Kurvendiskutierer

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jo klar, ist ne Vollständige Kurvendiskussion mit Def-Bereich, Stetigkeit, Extram, Nullstellen, usw....
Also wäre beim Punkt Stetigkeit f(x) im Punkt x=0 doch stetig?

01.02.2007, 14:39

tigerbine

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NEIN, f ist in 0 nicht stetig. Wie oft denn noch traurig

traurig

Wir können eine Funktion g definieren, so dass sie bei 0 stetig ist.

x<0: g(x) := f(x)
x=0 g(0) := 0
x>0 g(x):= f(x)

aber dass ist nicht die zu diskutierende Funktion f. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2007, 14:49

Kurvendiskutierer

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Achso ich dachte man kann f(x) "umschreiben" und zwar:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x*\frac{|x|}{ln(x^2)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$
Also gut, das kann man nicht!
Ok, dann passt alles. Vielen Dank nochmal!

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