Geometrische Darstellung eines Vektorraumes

21.08.2012, 12:35

peda

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Geometrische Darstellung eines Vektorraumes

Meine Frage:
Hallo,
Ein Übungsbsp sieht folgendermaßen aus:

Zeigen oder widerlegen Sie, dass W Teilraum des Vektorraums R³ über R,
also (R³,+,R) soweit ich das verstanden hab, ist und beschreiben sie die Menge W geometrisch.

W = { (x,y,z) | x = 2y }

Meine Ideen:
also meiner meinung nach ist W ein Unterraum weil ich mit

a,b aus W und lambda,gamma aus K

folgende Gesetze zeigen kann:

- lambda*(a+b) = lambda*a + lambda*b
- (lambda+gamma)*a = lambda*a + gamma*a
- lambda*(gamma*a) = (lambda*gamma)*a
- 1*a = a

mein problem liegt in der geometrischen darstellung, wie könnte das aussehen?
also x = 2y heisst ja dass alle meine vektoren in (x,y) auf einer geraden liegen oder?
aber wie spielt da dann die z-achse rein?
danke schon mal smile

smile

21.08.2012, 12:45

Che Netzer

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RE: geometrische darstellung eines vektorraumes
Hallo,

Zitat:

Original von peda
also meiner meinung nach ist W ein Unterraum weil ich mit
a,b aus W und lambda,gamma aus K
folgende Gesetze zeigen kann:

- lambda*(a+b) = lambda*a + lambda*b
[...]

Das kannst du auch zeigen, wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ aus jeder beliebigen Menge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ kommen, das hat mit Unterräumen nichts zu tun.
Die Frage ist, ob $\begin{eqnarray*} \lambda a+\mu b\in W \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a,b\in W \end{eqnarray*}$ .

Das mit der Geraden ist eine gute Idee.
Wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nicht in der Gleichung vorkommt, sind daran offenbar keine Bedingungen gestellt, oder?
Also ... ?

mfg,
Ché Netzer

21.08.2012, 13:20

peda

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ok ich hab grade nochmal in unserem buch (mathematik für informatik, von 4 professoren der TU wien) nachgeschaut.

wenn man die 4 punkte die ich angesprochen habe zeigt und die angabe mit (V,+) = abelsche Gruppe und K = Körper betrachtet, dann kann man daraus genau dass was du gesagt hast auch herleiten.

also ist deine methode die kurze, praktische "ich habs verstanden" version von dem was ich gemacht hab smile

smile

?

aber wichtiger ist mir der geometrische teil .. also laut angabe kann z ja jeden wert aus R annehmen, das heisst, ich versuche das mal so aufzuschreiben wies in meinem kopf aussieht:

2y = x sagt mir dass in (x,y) ohne betrachtung von z alle vektoren auf einer geraden mit einem bestimmten winkel zu den achsen liegen, die durch den nullpunkt läuft.
wenn ich jetzt z in betracht ziehe, lasse ich die gerade quasi einmal 360° um den nullpunkt durch die z achse rotieren und erhalte eine unendlich große ebene die durch den nullpunkt geht und auf der z achse liegt?

konfus ich weiss, sorry smile

smile

21.08.2012, 14:06

Che Netzer

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Zitat:

Original von peda
ok ich hab grade nochmal in unserem buch (mathematik für informatik, von 4 professoren der TU wien) nachgeschaut.

Schön, dass du darauf hinweist, aber du kannst mir auch glauben. Wenn ich mich geirrt hätte (glücklicherweise nimmt die Rate hier nach und nach immer weiter ab), hätte jemand darauf hingewiesen.

Zitat:

wenn man die 4 punkte die ich angesprochen habe zeigt und die angabe mit (V,+) = abelsche Gruppe und K = Körper betrachtet, dann kann man daraus genau dass was du gesagt hast auch herleiten.

Da haben wir es ja schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

:
"abelsche Gruppe", das beinhaltet, dass die Operationen wohldefiniert sind.
Dass Distributivität etc. gelten, ist schon damit klar, dass dies für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gelten, und $\begin{eqnarray*} W\subset\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

also ist deine methode die kurze, praktische "ich habs verstanden" version von dem was ich gemacht hab smile

smile

?

Das ist eigentlich das einzige, was für die Unterraumeigenschaft zu zeigen hast. Die restlichen Vektorraumaxiome bis auf die Existenz eines Nullelements sind dadurch erfüllt, dass die Elemente schon im Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ liegen.
Die genannte Bedingung liefert dann die Wohldefiniertheit (und auch die Existenz eines Nullelements).

Wie gesagt, deine Formeln kannst du auch zeigen, wenn $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ eine Kugel wäre und kein Unterraum.

Zitat:

2y = x sagt mir dass in (x,y) ohne betrachtung von z alle vektoren auf einer geraden mit einem bestimmten winkel zu den achsen liegen, die durch den nullpunkt läuft.

Das stimmt soweit.

Zitat:

wenn ich jetzt z in betracht ziehe, lasse ich die gerade quasi einmal 360° um den nullpunkt durch die z achse rotieren und erhalte eine unendlich große ebene die durch den nullpunkt geht und auf der z achse liegt?

Nein, eine Rotation ist das nicht. Es muss die Bedingung $\begin{eqnarray*} 2y=x \end{eqnarray*}$ erfüllt sein, das ist für ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ für eine Gerade erfüllt. Stell es dir so vor: Du betrachtest erst nur ein $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , zeichnest die Menge dafür und erhältst eine Querschnittsfläche. Für die gesamte Menge stapelst du all diese Querschnittsflächen übereinander.

21.08.2012, 15:04

peda

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ich wollt dir nicht auf den schlips treten, ich wollte nur drauf hinweisen dass wir ein buch besitzen in dem einer oder mehrere professoren der meinung sind dass die von mir genannten 4 kriterien einen vektorraum ausmachen.

mein versuch war dann wohl einen gemeinsamen nenner zwischen dir und meinen professoren zu finden, also nix für ungut. lassen wir die haarspalterei

ich versteh nicht ganz wie man von einer geraden auf eine querschnittsfläche kommt?
also dass x = 2y eine gerade erzeugt, da sind wir uns einig und das ist auch klar soweit.
aber jetzt kann es ja verschiedene werte für z geben richtig? das verändert aber das verhätnis von x zu y nicht. da die alle vom ursprung (0/0/0) ausgehen seh ich z nur als veränderung im winkel an.

was versteh ich da falsch?
danke übrigens

21.08.2012, 15:25

Che Netzer

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Zitat:

Original von peda
ich wollt dir nicht auf den schlips treten, ich wollte nur drauf hinweisen dass wir ein buch besitzen in dem einer oder mehrere professoren der meinung sind dass die von mir genannten 4 kriterien einen vektorraum ausmachen.

Ich glaube, nicht, dass die dieser Meinung sind, z.B. die Existenz eines Nullelements fehlt.
Außerdem musst du die Wohldefiniertheit der Operationen zeigen. Steht in dem Buch auch etwas zu Unterräumen.

Zitat:

ich versteh nicht ganz wie man von einer geraden auf eine querschnittsfläche kommt?
also dass x = 2y eine gerade erzeugt, da sind wir uns einig und das ist auch klar soweit.
aber jetzt kann es ja verschiedene werte für z geben richtig? das verändert aber das verhätnis von x zu y nicht. da die alle vom ursprung (0/0/0) ausgehen seh ich z nur als veränderung im winkel an.

Wenn du $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ festhältst und dir die Gerade ansiehst, geht die dann immer durch den Ursprung? Für alle Werte von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ?

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21.08.2012, 15:43

peda

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ich glaub ich lad einfach mal ein paar auszüge aus dem buch hoch. so aus dem kontext gerissen usw kann das ja nur zu missverständnissen führen.

vektorraum definition:

http://img521.imageshack.us/img521/917/vektorraumdef.png

unterraum definition:

http://img339.imageshack.us/img339/3339/unterraumdef.png

also meinem verständnis nach müsste die gerade immer noch durch den nullpunkt gehn, weil a ja ein vektor aus dem R³ ist und sich nur die richtung in die er zeigt mit dem z verändert. solange ich davor nicht sowas wie (0,0,5) + a mache verschiebt es sich ja in keine richtung oder?

EDIT: eine seite weiter schreiben die autoren auch das was du geschrieben hast nochmal und folgern es quasi aus dem was ich (ab)geschrieben hab. also wenn ich jetzt noch den geometrischen teil verstehe bin ich überglücklich smile

smile

21.08.2012, 15:57

Che Netzer

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Die Vektoren dieser Geraden haben die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y\\y\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für konstantes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Ist also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für jedes (!) $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in dieser Gerade enthalten?

Die Definitionen sind vollkommen richtig.
Die meisten Eigenschaften sind für Elemente aus $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ schon deswegen gegeben, weil sie in dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ liegen; für dessen Elemente gelten die Axiome. Man muss nur sicherstellen, dass alles wohldefiniert ist. Wenn $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (W,+) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe bilden soll, muss $\begin{eqnarray*} x+y\in W \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y\in W \end{eqnarray*}$ sein.
Und der andere Teil steht schon da: $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot x\in W \end{eqnarray*}$ (zumindest steht es dort mit $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ...).

Der Rest ist klar. Beispiel:
Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in W \end{eqnarray*}$ . Wir "wollen zeigen": $\begin{eqnarray*} x+y=y+x \end{eqnarray*}$ . Dies gilt, weil $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und weil $\begin{eqnarray*} x+y=y+x \end{eqnarray*}$ für alle Elemente $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

21.08.2012, 16:12

peda

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Zitat:

Original von Che Netzer
Die Vektoren dieser Geraden haben die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y\\y\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für konstantes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Ist also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für jedes (!) $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in dieser Gerade enthalten?

ich versteh leider nicht ganz genau was du damit meinst smile

smile

aber zb. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heisst ja nur dass der Vektor vom Nullpunkt aus 5 nach x und 2 nach y geht oder? kommt nicht jeder Vektor aus dem ursprung solange ich keine verschiebung dazuaddiere?

21.08.2012, 16:22

Che Netzer

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Zitat:

Original von peda
aber zb. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heisst ja nur dass der Vektor vom Nullpunkt aus 5 nach x und 2 nach y geht oder? kommt nicht jeder Vektor aus dem ursprung solange ich keine verschiebung dazuaddiere?

Wir sind hier im Hochschulbereich, da sind Vektoren keine Pfeile mehr Augenzwinkern

Augenzwinkern

[Und was verstehst du als Verschiebung? Noch einen Vektor?]
Der Nullvektor ist der einzige Vektor, der im Ursprung liegt.

Also:
Gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2y\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

21.08.2012, 16:42

peda

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also wir bewegen uns hier doch in einem kartesischen koordinatensystem (x,y,z) oder?

das heisst laut meinem verständnis dass sämtliche vektoren implizit, sofern nicht anders angegeben, als $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{0A} \end{eqnarray*}$ betrachtet werden. dadurch kommt jeder vektor aus dem ursprung solange nicht noch ein anderer vektor als verschiebung hinzuaddiert wird

zb: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} = \vec a \end{eqnarray*}$

dann verläuft $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ nicht mehr durch den ursprung.
wenn ich aber einfach nur immer andere werte für ein z einsetze und es jedes mal als eigenständigen vektor betrachte, warum sollten die dann nicht alle aus dem ursprung kommen?

ps: sorry deine fragestellung ganz unten im letzen post ich weiss einfach nicht was du damit sagen willst smile

smile

vlt bin ich grad zu blöd dafür. ich sitz schon recht lange am pc heute..

21.08.2012, 16:56

Che Netzer

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Zitat:

Original von peda
also wir bewegen uns hier doch in einem kartesischen koordinatensystem (x,y,z) oder?

Ja, genau.

Zitat:

das heisst laut meinem verständnis dass sämtliche vektoren implizit, sofern nicht anders angegeben, als $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{0A} \end{eqnarray*}$ betrachtet werden. dadurch kommt jeder vektor aus dem ursprung solange nicht noch ein anderer vektor als verschiebung hinzuaddiert wird

zb: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} = \vec a \end{eqnarray*}$

Äh? $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ ist doch dann auch ein Vektor, der dann wieder "aus dem Ursprung kommt".

Zitat:

dann verläuft $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ nicht mehr durch den ursprung.
wenn ich aber einfach nur immer andere werte für ein z einsetze und es jedes mal als eigenständigen vektor betrachte, warum sollten die dann nicht alle aus dem ursprung kommen?

Ein Vektor "verläuft" gar nicht.
Du solltest beachten, dass die Vektoren nur als Pfeile dargestellt werden KÖNNEN. Und in der Darstellung als Pfeil beginnt dieser zwar ggf. im Ursprung, aber es kommt nur auf Richtung und Länge an.
Betrachte die Vektoren in diesem Fall eher als Punkte; die Gerade ist dann also eine Menge von Punkten. Die geht also genau dann durch den Ursprung, wenn einer dieser Punkte der Nullpunkt ist.
In deiner Vorstellung solltest du dich also fragen, ob einer dieser Vektoren "auf den Nullpunkt zeigt".
Das ist der Fall, wenn alle Komponenten Null sind.

Zitat:

ps: sorry deine fragestellung ganz unten im letzen post ich weiss einfach nicht was du damit sagen willst smile

smile

vlt bin ich grad zu blöd dafür. ich sitz schon recht lange am pc heute..

Ich hoffe, das ist jetzt klarer.

Nochmal: Betrachte die Vektoren nicht als irgendetwas, was irgendwo verläuft oder irgendwo hinzeigt oder irgendwo herkommt.
In unserem Fall des Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor eine Ansammlung von drei Zahlen, die man übereinander schreibt.

21.08.2012, 17:37

wokey

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unterraum oder nicht:

geometrisch veranschaulichen, ich bin mir nicht sicher ob du das meinst,
aber die funktion ergibt ja ziemlich offensichtlich eine ebene in der 3 dimensionalen
die man sich relativ leicht vorstellen kann.

diese ebene sind alle punkte in IR³ die der vektor annehmen kann.

lg,
wokey

21.08.2012, 17:55

peda

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@che: also den input muss ich erst amal gscheit verdauen smile

smile

ich glaube ich muss den ganzen begriff vektor nochmal überdenken. danke für den anstoß! ich kann dir dann in paar stunden vlt sagen ob ich versteh was du meinst und ob ichs unterschreiben würd :P

@wokey: wie würdest die ebene denn beschreiben? bzw wo soll die liegen?

21.08.2012, 18:27

wokey

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ich würde sagen es ist eine ebene die sowohl die gerade (0,0,z) (also die z achse) schneidet als auch die gerade (2y,y,0) das müssten dann alle werte in IR³ sein die der vektor W annehmen kann.

lg wokey

21.08.2012, 18:34

peda

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interessant smile

smile

das ist auch das wovon ich noch immer zum teil überzeugt bin, also das was ich beim ersten post angenommen hab. aber che hat mich a bissl verunsichert smile

smile

21.08.2012, 18:53

wokey

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also wenn ich das richtig lese geht es che hauptsächlich darum das W mit den zusäztlichen bedingungen kein untervektorraum von R³ ist (damit kenne ich mich nicht aus offen gesagt).
das sich die menge W aber so graphisch darstellen lässt, bin ich aber überzeugt.

21.08.2012, 18:57

Che Netzer

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Doch, doch, $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist ein Unterraum, das wurde aber bisher noch nicht gezeigt. Mir ging es darum, zu erläutern, welche Bedingungen man überprüfen muss, um zu zeigen, dass eine (Teil-)Menge ein Unterraum ist.

Und ja, es ist eine Ebene; $\begin{eqnarray*} x=2y \end{eqnarray*}$ nennt man im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ja auch Ebenengleichung.
Nach dem eigentlichen Begriff des "Schneidens" ist es aber genau die Ebene, die keine der genannten Geraden schneidet, sondern beide beinhaltet.

Zunächst haben wir irgendeine Menge von Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Nun wird die Bedingung $\begin{eqnarray*} x=2y \end{eqnarray*}$ gestellt, also ist $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ die Menge aller Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2y\\y\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y,z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ (beliebig wählbar).

21.08.2012, 19:09

wokey

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der 0 vektor ist element von W (2y,y,z) mit y=0 und z=0,
die addition (2*y1,y1,z1)+(2*y0,y0,z0)=(2*(y1+y0),(y0+y1),z1+z0)
jetzt muss man nachweisen das die bedingung x=2*y auch für den 2ten vektor gilt
x'=2*(y1+y0) stimmt also, also ist die addition zweier punkte wieder auf dieser ebene.

aus den rest werde ich jetzt nicht so schnell schlau bei wikipedia.
aber ich probiere es mal mit lambda element von körper k, ist nehme ich stark an die den körper zugrunde liegende menge gemeint ist also lambda alle element von IR.
jetzt kommt die skalar multikplikation (2y,y,z)*lambda=(2y*lambda,y*lambda,z*lambda)
jetzt wieder die bedienung x=2*y prüfen x'=2*lambda*y also auch das skalarprodukt liegt auf der ebene (hoffe ich zumindest). ohne gewähr. Big Laugh

Big Laugh

damit müsste es ein untervektorraum sein.

lg

21.08.2012, 22:23

Che Netzer

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Hm? Wolltet ihr die Aufgabe zu zweit lösen oder hast du die jetzt einfach vorgerechnet?

Naja, als abschließende Bemerkung: Eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein (echter) Unterraum, wenn es eine Gerade oder Ebene ist, die durch den Ursprung geht. (oder es ist nur der Nullpunkt...)

21.08.2012, 22:26

peda

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ich hab schon meine schlüsse draus gezogen und bin zufrieden mit dem ergebnis smile

smile

danke nochmal euch beiden

21.08.2012, 22:28

Che Netzer

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Was denn für Schlüsse?

21.08.2012, 22:31

peda

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es ist die ebene die ich gemeint habe smile

smile

und ich weiss jetzt auch dass ich es mir im kopf falsch vorgestellt hab. das hab ich bissl abgeändert. und dass man nur die 2 bedingungen nachrechnen muss leuchtet mir auch halbwegs ein

und vektoren sind von mir aus auch keine pfeile :P

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