Grenzwertbestimmung in Abhängigkeit von a

21.08.2012, 20:32

iLoveRainbows

Grenzwertbestimmung in Abhängigkeit von a

Meine Frage:
Ich bin im 1.Semester der gymnasialen Oberstufe und habe u.a. den Mathe LK.

Bis jetzt verstehe ich alles, aber bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter. Ich vermute zwar etwas, weiß aber nicht, wie man das beweisen kann.

Bestimmen Sie den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x^{2}- 4a }{x- 2} \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von a.
Unterscheiden Sie die Fälle a=1, a<1 und a>1.

Meine Ideen:
Was einfach ist:
für a=1 lautet der Grenzwert 4.
für a<1 vermute ich $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$
für a>1 vermute ich $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

Vielen Dank!

21.08.2012, 20:54

Mork vom Ork

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RE: Grenzwertbestimmung in Abhängigkeit von a
Schreibe einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-4a}{x-2}=(x+2)+4\cdot\frac{1-a}{x-2} \end{eqnarray*}$

dann siehst Du sofort, dass der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} a\neq 1 \end{eqnarray*}$ nicht existiert.

21.08.2012, 21:29

iLoveRainbows

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RE: Grenzwertbestimmung in Abhängigkeit von a
Entschuldige, wenn ich mich gerade doof stelle, aber wie kommst du auf diese Gleichung?!
Ja, aber es gibt ja einen uneigentlichen Grenzwert oder?
Dann müsste ja an der Stelle 2 eine Polstelle sein, glaube ich, oder?
Und das muss ich ja glaube ich machen: die Fälle unterscheiden mit +unendlich und -unendlich.

verwirrt

P.S.: Vielen Dank für deine Antwort!

21.08.2012, 21:40

Kasen75

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Hallo,

ich will nur kurz sagen, dass man im Zähler für a=1 die 3. binomische Formel anwenden kann. Dadurch ergibt sich meines Erachtens auch ein Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \to 2 \end{eqnarray*}$ .

Mit freundlichen Grüßen.

21.08.2012, 21:50

iLoveRainbows

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Dankeschön, das habe ich auch schon oben geschrieben. (:
für a=1 ist der Grenzwert 4

Trotzdem dank!

22.08.2012, 11:03

Mork vom Ork

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RE: Grenzwertbestimmung in Abhängigkeit von a

Zitat:

Original von iLoveRainbows
Entschuldige, wenn ich mich gerade doof stelle, aber wie kommst du auf diese Gleichung?!
Ja, aber es gibt ja einen uneigentlichen Grenzwert oder?
Dann müsste ja an der Stelle 2 eine Polstelle sein, glaube ich, oder?
Und das muss ich ja glaube ich machen: die Fälle unterscheiden mit +unendlich und -unendlich.

Du kannst doch genau so vorgehen wie bei der Untersuchung von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac 1x. \end{eqnarray*}$

Denn im Grunde genommen geht es hier doch nur um

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2}\frac 1{x-2}. \end{eqnarray*}$

Der Rest ist ja unkritisch.

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