Eigenschaft der RN-Ableitung - Seite 2

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Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste hier genannte, also die aus dem Ursprungsbeitrag.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss das Gegenbeispiel erstmal verstehen...

Also für schlägst Du das Zählmaß auf den rationalen Zahlen vor, d.h.

mit

- korrekt?


Und wie meinst Du jetzt ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch einfach das Beispiel nehmen, auf das ich verlinkt habe (das im Index sollte natürlich immer verschieden sein, also eigentlich ).

In diesem Beispiel hier, wären die eine Abzählung der rationalen Zahlen, aber die Vorfaktoren werden variabel gelassen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nehme ich Dein Beispiel.


für und

.

Und wieso klappts da jetzt nicht?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn jetzt die z.B. die rationalen Zahlen sind oder generell dicht liegen, dann ist , da unendlich viele in liegen.
Das wirkt sich dann entsprechend auf den Grenzwert aus.
[...]
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso und der Nenner ist 1, richtig?


. . aber irgendwie...


was ist denn dann, wenn h gegen 0 geht?



Ich kann mir irgendwie gar nicht vorstellen, dass die Aussage echt falsch ist... die steht so in der dritten Auflage vom Billingsley und das ist DAS Standardwerk...
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Der nenner ist sogar nur kleiner gleich 1.

Wenn gegen Null geht, bleibt der Bruch natürlich Unendlich.

Naja, ich finde keinen Fehler im Gegenbeispiel; vielleicht wird im Buch eine alternative Definition der -Endlichkeit benutzt? [attach]24103[/attach]
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre bei Deinem Gegenbeispiel denn die RN-Ableitung?

, wenn rational ist, 0 sonst?



Also in dem Buch steht:


"If for some finite or countable sequence of -sets satisfying , then is -finite."


Klingt nach der normalen Definition.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung wurde ja schon angegeben.
Die wäre für rationales bzw. bei meinem Beispiel .

Tja, dann weiß ich auch nicht weiter. Entweder ist das Gegenbeispiel falsch oder die Aussage aus dem Buch ist falsch (falsch übernommen/verstanden oder tatsächlich falsch).
Im Gegenbeispiel habe ich wie gesagt keinen Fehler gefunden.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Letzte Frage, bevor ich mich wohl an meinen Professor wenden muss:

Wie kommt man auf diese RN-Ableitungen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Um nicht alles zu verraten:
Es soll ja

für alle messbaren Menge gelten. Für kannst du jetzt ganz bestimmte Mengen einsetzen; und sind ja bekannt.

Schreib dann mal hier rein, was der Professor dazu gesagt hat.

Ich hoffe nur, ich habe jetzt nicht irgendeine Kleinigkeit übersehen. Dann sollte ich mich lieber endgültig von allen Fragen im Stochastik-Bereich fernhalten smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein letzter Versuch. Ich hatte ja schon geschrieben, dass die Aussage folgt aus

Zitat:
Billingsley, "Probability and Measure", Third Edition, 31.22

If is nonnegative and Lebesgue integrable, then by Theorem 31.3 and (31.8), except for x in a set of Lebesgue measure 0,



if , and .

There is an analogue in which Lebesgue measure is replaced by a general probability measure : If is nonnegative and integrable with respect to , then as



on a set of -measure 1.



Vielleicht liegt da irgendwo der Hund begraben---
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, mir fällt gerade auf, dass das doch nicht ganz funktioniert.
Das Problem liegt beim "integrable with respect to ".
Für endliche Maße folgt die Aussage daraus, aber für unendliche Maße kann man das nicht mehr anwenden.
Tut mir leid, dass mir das nicht schon beim ersten mal aufgefallen ist...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird ja immer mysteriöser... denn Billingsley selbst verweist zum Beweis auf 31.22-
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stimmt in der ursprünglichen Aussage sicher irgendeine der Voraussetzungen nicht. Nach diesem 31.22 zu urteilen, sollte endlich und nicht nur -endlich sein, um den Satz direkt anwenden zu können.

Mit der erwähnten lokalen Endlichkeit kann man den Satz auch noch anwenden, wenn auch nicht GANZ direkt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo steht denn in 31.22, daß v endlich sein muss?


(Puh)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das folgt aus der Integrierbarkeit von (der Radon-Nikodým-Ableitung von ) bezüglich .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, jetzt verstehe ich.

Du meinst, wenn man bei der Aussage aus meinem allerersten Beitrag für v nicht sigma-endlich, sondern endlich ersetzt, stimmt wieder alles?



(wir hatten ja auch gezeigt, dass v(B) endlich war.)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn da "endlich" stünde, könnte man deine Anwendung von 31.22 als Beweis so stehen lassen.
Bei lokaler Endlichkeit müsste man immer noch ein bisschen einschränken, aber das ist nicht das Problem.

Die Frage ist nur, was damit eigentlich gemeint ist?
Ist deine dritte eigetlich die neuste Auflage?


Wenn ich nicht auch langsam durcheinanderkomme (durchaus möglich! Augenzwinkern ) haben wir die Endlichkeit von nur in einer Anwendung gezeigt, in der wir sowieso hatten, weil in das Argument noch mit einem anderen Ereignis geschnitten wurde.
Oder meinst du ein anderes ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Meines Wissens ist das die aktuellste Auflage, wobei ich nicht weiß, ob das THIRD EDITION wirklich für Auflage steht.


Ja, ich meinte das v aus dieser Anwendung.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, dann frag am besten den Professor. Wenn wir hier nicht die ganze Zeit Unsinn reden und irgendetwas übersehen, ist es ja vielleicht eine bekannte Aussage, die falsch formuliert wurde.

Tja, also hat wenigstens die Anwendung noch geklappt Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Email an den Professor ist schon raus, ich berichte dann.


Ich versuch gerade irgendwie in andere neuere Ausgaben zu gucken (ich glaube, es gibt noch eine Jubil,äumsausgabe)... aber google books spart genau diese Passage aus.

böse
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du es schon mit der Blick-ins-Buch-Funktion von Amazon probiert? So habe ich für meine DGL2A-Prüfung gelernt Big Laugh
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Da ists leider auch nicht zu finden.


Naja, ich gehe jetzt mal vorübergehend davon aus, dass da endlich stehen soll.


Dann wäre das Gegenbeispiel hinfällig, oder? Oder gäbe es dann wieder ein Gegenbeispiel.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Oder gäbe es dann wieder ein Gegenbeispiel.

Bitte nicht unglücklich
Wenn doch, dann stimmt 31.22 auch nicht...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre mein Untergang. unglücklich

Naja, nun heißt es für mich: Abwarten und Tee trinken.

Und Dir danke ich für die Elefanten-Geduld.


Wie gesagt, ich berichte dann. Lehrer
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Da der Professor bis jetzt noch nicht geantwortet hat, dachte ich mir, ich nutze die Wartezeit.

Mir fehlt ja nämlich immer noch eine Idee, wie man diese Aussage


Zitat:
Billingsley, "Probability and Measure", Third Edition, 31.22

If is nonnegative and Lebesgue integrable, then by Theorem 31.3 and (31.8), except for x in a set of Lebesgue measure 0,

(31.35)

if , and .

There is an analogue in which Lebesgue measure is replaced by a general probability measure : If is nonnegative and integrable with respect to , then as

(31.36)

on a set of -measure 1.


beweisen kann.


Als Tipps steht da noch:

Zitat:
Billingsley, s.o.

Let be the distribution function corresponding to , and put for . Deduce (31.36) from (31.35) by change of variable and Problem 14.4.



"Problem 14.4" lautet:

Zitat:
Billingsley, s.o.

Let be the set of continuity points of .
(a) Show that for every Borel set , is at most the Lebesgue measure of .
(b) Show that if is continous at each point of , then is at most the Lebesgue measure of .

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, was mir auch noch nicht klar ist...

Wäre die Aussage zu Anfang dieses Threads auch

?

also bei abgeschlossenen Intervallen?

Oder nur bei ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frag das nochmal anders.

Angenommen ich will jetzt



zeigen, also nicht , sondern .

Könnte man dann sagen, dann ist ja z.b.

und darauf kann man dann wieder die Aussage anwenden?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Che Netzer:


Also ich würde sagen: Es gilt auch für abgeschlossene Intervalle, weil man ja immer sozusagen ein linkshalboffenes Intervall drumherum legen kann und für die gilt es ja.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das könnte sein, aber ich möchte mich nicht festlegen. Das mit dem Drumherumlegen überzeugt mich auch nicht. (Wie sähe da der genaue Beweis aus)

Das halboffene Intervall erhält man ja sicherlich über die Verteilungsfunktion, von daher würde ich lieber dabei bleiben.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nämlich folgendes Problem. Bei Proschan lese ich:

Betrachte und



und , falls -


Theorem:

Die Funktion exisitert, außer aufMengen von Punkten mit Wahrscheinlichkeit 0.





Das ist doch wie die eine Anwendung, die wir schon hatten und Proschan verweist auch wieder auf die Aussage aus dem Eröffnungspost.


Doch: Hier hat man doch ein abgeschlossenes Intervall---
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wird dort wirklich auf GENAU die Aussage verwiesen oder auf die analoge mit einem abgeschlossenen Intervall?

Hm, irgendwie entartet dieser Thread hier zu einer Ansammlung von Spekulationen und Problemen, die mich irgendwann noch verrückt machen smile
Es war ja alles noch so schön einfach, als ich nur deinen Beweis kaputtmachen musste Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dort steht:

A proof of Theorem may be found in exercise 32.14 of Billingsley.


[bzw. 32.13 in der third edition und das ist die aussage, die ich ganz zuerst gepostet hatte]


ich habe gehofft dass man diese aussage hier auch verwenden könnte. verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

hat das vielleicht irgendwas damit zu tun dass die aussage aus dem eröffnungspost nur mu-fast sicher gilt oder so?


und dass es dann irgendwie egal ist ob linksoffen oder abgeschlossen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das Maß kann ja auch Gewicht in (für bestimmte ) haben, aber inwiefern sich das bei der Bildung des Grenzwertes auswirkt, weiß ich nun auch nicht.

Sehr viel kann ich zu dem Thema auch nicht mehr sagen, ohne mir unsicher zu sein...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn man jetzt zum Beispiel davon ausgeht, dass X stetig verteilt ist? Dann wäre es doch egal ob linksoffen oder abgeschlossen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann schon.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Mensch das ist doch verzwickt...

<das muss doch auch irgendwie allgemein gelten...

So langsam werde ich auch echt irre.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das macht wohl auch keinen unterschied mehr.

aber da steht noch:

the conclusions remain valid if the event in the definition of is replaced by or .
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