Eigenschaft der RN-Ableitung

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaft der RN-Ableitung
Meine Frage:
Suppose that and are a probability measure and a -finite measure on the line and that . Show that the Radon-Nikodym derivative satifies



on a set of -measure 1.

Meine Ideen:
Ich verstehe den Ausdruck "on the line" so, daß und -endliche Maße auf den reellen Zahlen sind.

Mein Beweis:
Aufgrund der Voraussetzungen existiert nach dem Satz von Radon-Nikodym eine -meßbare, fast überall eindeutig bestimmte, nicht-negative Funktion so, daß .

Dann gilt:



Da und ebenso , lässt sich die Regel von L'Hôspitel anwenden und dann erhält man mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:








Könnte mir vielleicht jemand sagen, ob ich den Beweis richtig geführt habe oder mir gegebenenfalls Korrekturen geben? Ich würde mich sehr freuen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaft der RN-Ableitung
Hallo,

ich hätte erst einmal die Intervallgrenzen nicht so rangeschrieben; dann ist ja nicht klar, was mit den Grenzen selbst ist, d.h. ob die auch zum Integrationsgebiet bekommt.

Wieso die Intervalle gegen 0 gehen, verstehe ich auch nicht. Es könnte doch zufällig sein, dann wären die Integrale jeweils konstant 1.

Ob man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hier generell anwenden kann, weiß ich leider auch nicht genau.

Und zum Schluss sieht es so aus, als hättest du diese Eigenschaft punktweise gezeigt, obwohl sie ja überhaupt nur fast überall gelten kann.

Die Aufgabe verstehe ich so, dass dieser Grenzwert fast überall ("on a set of -measure 1") mit der (bzw. einer) Radon-Nikodym-Ableitung übereinstimmt.

Ich hätte also eher versucht zu zeigen, dass der Grenzwert eine solche Ableitung darstellt.

mfg,
Ché Netzer
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaft der RN-Ableitung
Zitat:
Original von Che Netzer

Ich hätte also eher versucht zu zeigen, dass der Grenzwert eine solche Ableitung darstellt.



Und wie das?

Wie kann man nachweisen, ob ein bestimmter Ausdruck eine RN-Ableitung ist?


Edit:

Ich habe gerechnet nach der Regel:

und so komme ich auf
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaft der RN-Ableitung
Da muss ich zugeben, dass ich jetzt auch keine Lösung im Sinn habe, aber ich würde

zeigen wollen. (für messbare Mengen )

Zum Edit:
Ja, die Vorzeichen stimmen doch. Ist mir vorhin auch irgendwann aufgefallen; ich hatte gehofft, ich könnte das rechtezeitig rauseditieren, bevor es jemand liest smile [bin dann aber wohl doch zu spät zurückgekommen]
Naja, jetzt ist die Bemerkung weg.

Ob man den Hauptsatz aber auch bei anderen Maßen als dem Lebesgue-Maß anwenden kann, weiß ich aber immer noch nicht. Ich bezweifle es zwar, aber sicher bin ich mir nicht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaft der RN-Ableitung
Zitat:
Original von Che Netzer
Da muss ich zugeben, dass ich jetzt auch keine Lösung im Sinn habe, aber ich würde

zeigen wollen. (für messbare Mengen )



Ich sehe, worauf Du hinaus willst.

Würde das, was Du zeigen möchtest, gelten, dann wäre halt der Limes eine weitere RN-Ableitung und diese würde -fast überall mit übereinstimmen.


Ich weiß aber echt nicht, wie man jetzt das beweisen könnte bzw., ob nicht "meine" Beweisführung auch in Ordnung ist.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaft der RN-Ableitung
Dass deine Rechnung so stimmt glaube ich nicht, da
a) die Grenzwerte der Integrale nicht gegen Null gehen müssen
b) die Gleichheit anscheinend punktweise gezeigt wurde.

Ich finde die Aufgabe aber auch recht seltsam formuliert (wenn ich sie denn nicht völlig falsch verstehe)...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaft der RN-Ableitung
Wo zeige ich etwas punktweise?



(Sorry, da verstehe ich Dich (noch) nicht.)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaft der RN-Ableitung
Am Ende hast du für ein konkretes zu stehen. Das dürfte so nicht funktionieren. (und im Schritt davor benutzt du übrigens noch die Stetigkeit von , die ja nicht gegeben sein muss.)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das sehe ich ein.

Also schmeiß ich meinen Beweis über Bord.


Hm, nun steh ich wieder am Anfang. Big Laugh
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass die Aussage, die ich beweisen möchte, wohl unmittelbar aus folgender Aussage folgt:


Zitat:
Billingsley, "Probability and Measure", Third Edition, 31.22

If is nonnegative and Lebesgue integrable, then by Theorem 31.3 and (31.8), except for x in a set of Lebesgue measure 0,



if , and .

There is an analogue in which Lebesgue measure is replaced by a general probability measure : If is nonnegative and integrable with respect to , then as



on a set of -measure 1.



Wenn ich also zu der ursprünglichen Aussage zurückgehe, die ich beweisen wollte, so habe ich ja dort aufgrund der dortigen Voraussetzungen

und dann folgt doch aus obigem Zitat (ab "There is an analogue...") sofort, dass dieser Limes ist, oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn man die Aussage dabei benutzen darf, sieht das gut aus.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die müsste ich jetzt noch beweisen. Big Laugh

Ich habe dazu auch "Tipps" gefunden, die stehen auch an genannter Stelle. Aber ich verstehe sie nicht so wirklich.

Zitat:
Billingsley, s.o.
Let be the distribution function corresponding to , and put for . Deduce from by change of variable and Problem 14.4.


Und "Problem 14.4" lautet:

Zitat:
Billingsley, s.o.
Let C be the set of continuity points of F.
(a) Show that for every Borel set A, is at most the Lebesgue measure of f.
(b) Show that if F is continous at each point of , then is at most the Lebesgue measure of A.



Kannst Du mir evtl. weiterhelfen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Stochastik halte ich mich beim Helfen besser fern, tut mir leid...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann danke ich Dir für Deine Hilfe (dass Du mich überzeugen konntest, dass mein Beweis Mist war) und warte auf einen anderen Helfer!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mich, ob wohl eigentlich auch



gilt... also wenn man das abgeschlossene Intervall nimmt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, Che Netzer, ich glaube, ich habe hier noch eine Anwendung der Aussage, die ich zuerst beweisen wollte, gefunden. Vielleicht guckste ja mal drüber, wenn Du Lust und Zeit hast.

Zitat:
Billingsley, "Probability and Measure", Third Edition, 33.16, S. 444

Suppose that X has distribution . Now for some Borel function f. Show that



for x in a set of -measure 1.

(Roughly speaking, .)


Ich habe mir dies überlegt:

Zunächstmal geht es doch um die faktorisierte bedingte Erwartung in dem Sinne, dass für eine Borelfunktion .


Nun betrachte man

.

Wenn man jetzt auf einmal die Verteilung von X als Wahrscheinlichkeitsmaß hat, also und außerdem auf das Wahrscheinlichkeitsmaß für betrachtet, so gilt doch, dass und v zwei -endliche Maße sind und zudem .

Demnach kann man den Satz, den ich ganz oben zuerst zitiert habe, anwenden und erhält

.


Da f auch eine Borelfunktion ist (wie obige Funktion g), gilt nun, dass

, man hat also eine andere Version, aber die beiden Versionen stimmen fast-sicher überein.
(Ich habe erst eine Funktion g gewählt, weil es ja wohl ziemlich unwahrscheinlich ist, dass man gleich die Version mit der Radon-Nikodym-Ableitung f erwischt... stattdessen habe ich lieber gezeigt, dass man dann zwei Versionen hat - und Versionen stimmen ja fast-sicher überein.)




---

Liege ich richtig? (Ich kann ja vielleicht auch mal was richtig machen...)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja noch mehr Stochastik geschockt

Naja, bedingte Wahrscheinlichkeiten hatten wir nur in einfachen Fällen, bedingte Erwartungswerte gar nicht; das kommt dann in WT2.
Zum Rest habe ich nur den Einwand, dass bzw. kein Wahrscheinlichkeitsmaß sein muss (nur für ).

Ansonsten sieht das richtig aus, soweit ich es beurteilen kann (!).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer

Zum Rest habe ich nur den Einwand, dass bzw. kein Wahrscheinlichkeitsmaß sein muss (nur für ).



Wieso? (Sorry, wenn ich zu viel frage.)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das Argument von wird doch mit geschnitten, oder? Dann setze doch mal ganz ein.

Edit: In der ursprünglichen Aufgabe war ja auch ein Wahrscheinlichkeitsmaß und nur -endlich.
Edit²: Dabei kann trotz unendlich sein.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das habe ich ja total überlesen!

soll ja nur ein -endliches Maß sein.



Dein zweites Edit verstehe ich nicht.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm dir für ein Maß, das sich als schreiben lässt.
Für kannst du dann diese Vorfaktoren weglassen, es gilt trotzdem , obwohl nur -endlich, aber nicht endlich ist; es ist schon gar kein Wahrscheinlichkeitsmaß mehr.

In deinem letzten Beispiel (der Anwendung des ersten Satzes) gilt aber natürlich .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann dürfte Dein Einwand, dass es sich bei nicht zwangsläufig um ein Wahrscheinlichkeitsmaß handelt, ja erledigt haben. (Puh, Schwein gehabt. Big Laugh )

Sehe ich das jetzt richtig:

Dass ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, ist klar, da es sich einfach um die Verteilung von X handelt.

ist -endlich, denn z.B. und .


Außerdem gilt , denn sei für , dann folgt

.



(Deine Bemerkung, dass trotz unendlich sein kann, war nur eine lehrreiche Nebenbemerkung?)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall ist ja sogar , also ist sogar endlich; die Absolutstetigkeit folgt auch direkt daraus.

Ich glaube, dein Beweis der Absolutstetigkeit ginge so auch gar nicht, da du ja im vorletzten Schritt auf ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit Null bedingst.

Zitat:
Original von Dennis2010
(Deine Bemerkung, dass trotz unendlich sein kann, war nur eine lehrreiche Nebenbemerkung?)

Ja, nur eine Nebenbemerkung, dass aus keine Aussage darüber zulässt, ob das Maß auch tatsächlich kleiner ist oder ähnliches.
Wenn es lehrreich war, umso besser smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke.


ist endlich, da . Und damit ist auch -endlich.


Aus folgt

und daraus, da , dass .


Und Du hast natürlich Recht, wie blöd von mir!

Wenn ich verwenden würde und voraussetze, dass , hätte ich ja beim Umstellen

und das ist BÖSE. :-)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte bloß zunächst allgemein gezeigt:
.

Die (-)Endlichkeit hat man dann mit , die Absolutstetigkeit mit .

Deins ist eigentlich dasselbe, aber ich fand es irgendwie schöner, die Wahrscheinlichkeit möglichst selten direkt ins Spiel zu bringen Big Laugh
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer

Ich hätte bloß zunächst allgemein gezeigt:
.



Ja, ist wirklich schöner.

Tja, wie zeigt man das.

Es gibt ja im Grunde nur drei Möglichkeiten.

(1) , dann

(2) , dann

(3) , dann .
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich jetzt etwas falsch verstanden?
Die Wahrscheinlichkeit des Schnitts zweier Ereignisse ist doch immer kleiner als Wahrscheinlichkeit eines der beiden Ereignisse, oder? (Monotonie des Maßes)

(In deinem Fall 2 muss auch nicht die echte Ungleichheit gelten)

Edit: Außerdem kann es auch sein, dass keiner der drei Fälle eintritt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will nicht ausschließen, dass ich wieder ein Brett vorm Kopf habe.
Aber ich dachte, man müsse schon eine Fallunterscheidung machen und könne darüber dann sehen, dass kleiner oder gleich gilt.

Kann man das zum Beispiel wirklich so sagen, daß die Wahrscheinlichkeit des Schnitts kleiner als diejenige der Ereignisse ist?

Was ist denn, wenn ?

Dann ist doch .

Also und .
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Kann man das zum Beispiel wirklich so sagen, daß die Wahrscheinlichkeit des Schnitts kleiner als diejenige der Ereignisse ist?

Ja, zumindest kleiner gleich. Es ist ja immer .

Zitat:
Also und .

Nicht mit , es kann ja auch eine Nullmenge sein.

Und wie gesagt, es kann auch sein, dass weder noch .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht.

Für heute habe ich genug gefragt.


Hab 1000 Dank.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ein Problem sehe ich da doch noch.

Die Radon-Nikodym-Ableitung ist doch dann eine nicht-negative Abbildung , die -messbar ist.

Damit gilt, müsste doch aber sein und -messbar sein, also eine Borel-Funktion sein.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Aber kann doch sowohl nach als auch nach abbilden.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso?...

Interpretationssache?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Es kann doch sein, dass das Bild von in liegt.
Es sieht ja auch so aus, als wäre das Bild in , da mit einer Wahrscheinlichkeit gleichgesetzt wird. (wobei ich die Schreibweise nicht kenne...)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Radon-Nikodym-Ableitung f ist ja hier eine nicht-negative, meßbare Funktion

.

Da würde ich das jetzt so verstehen, daß sie - messbar ist.


Und genauso kann ich das auch so ausdrücken, daß die Radon-Nikodym-Ableitung f hier eine Funktion

ist, die -messbar ist?



Ich will Dich ja an Deinem Geburtstag nicht ärgern, aber: Das sehe ich (noch) nicht ein. :-)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde das so sehen: bildet nach ab, also braucht man nur messbare Mengen aus zu betrachten; für ist ohnehin .

Im Grunde wurde also mit definiert, aber man merkt, dass das Bild eigentlich komplett in (sogar in ) liegt, d.h. es kann trotzdem eine Radon-Nikodym-Ableitung sein.

Oder habe ich die Frage falsch verstanden?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, ICH habe da was falsch verstanden und Du liegst richtig. Danke.
jack_the_ripper Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dennis,

die Aussage ist, so wie sie formuliert ist, falsch. Wo kommt sie denn eigentlich her?

Als einfaches Beispiel nehme man für mu ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das jeder rationalen Zahlen ein positives Gewicht gibt und für nu das Zählmaß auf den rationalen Zahlen, also dasjenige Maß, das zu jeder Borelmenge die Anazhl der darin enthaltenen rationalen Zahlen angibt. nu ist absolutstetig bezüglich mu (klar) und sigma-endlich. Für jede rationale Zahl x ist die RN - Ableitung f(x)=1/mu({x}). Für alle anderen Zahlen ist sie Null (mu-f.ü.) Andererseits ist der Quotient, der diesen Wert annähern soll, stets unendlich, weil jedes nichttriviale Intervall unendlich viele rationale Zahlen enthält.

Damit die Aussage gelten kann, muss also noch etwas über die Geometrie vorausgestzt werden, was die sigma-Endlichkeit alleine nicht kann. Z.B. lokale Endlichkeit von nu (Radon-Maß).

Viele Grüße.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Also etwa dieses Beispiel. Das hätte ich mir wohl mal genauer ansehen solle smile

Aber dann brauche ich mich ja nicht zu ärgern, dass mir dazu kein Beweis einfiel Big Laugh
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Aussage ist falsch? Weiß grad nicht, auf was sich das bezieht.
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