teilraum erzeugt durch ungerade Funktionen

21.08.2012, 23:25

peda

teilraum erzeugt durch ungerade Funktionen

Bsp: V = Vektorraum aller Funktionen $\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W = \lbrace f(x)\,|\, f(x) = -f(-x) \rbrace \end{eqnarray*}$

Ist W ein Teilraum von V über R?

Also laut Wikipedia sind gerade Funktionen jene bei denen gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) = f(-x) \end{eqnarray*}$
Mein Verdacht ist nun der, dass das all jene Funktionen sind, die einen geraden Exponenten haben?

Wenn ich jetzt zeigen würde dass ich mit einem beliebigen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aus der ungeraden Funktion eine gerade machen kann, hab ich dann schon gewonnen? smile

$\begin{eqnarray*} \exists\,\lambda \in \mathbb{R} , a \in W\,: \lambda*a = (f(x))^2\,|\, \lambda = f(x) \end{eqnarray*}$

21.08.2012, 23:54

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst einfach nur die drei Unterraumkriterien nachprüfen.

Edit:
Um kurz auf deinen Vorschlag einzugehen: $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl, f(x) eine Funktion. Wenn W ein Unterraum ist, muss es bzgl. der skalaren Multiplikation abgeschlossen sein. Falls Du also eine solche Zahl findest, hättest Du bewiesen, dass W kein Unterraum sein kann. Ich würde es bleiben lassen, danach zu suchen Augenzwinkern

21.08.2012, 23:58

peda

Auf diesen Beitrag antworten »

die 2 sachen die man prüfen muss, sind doch: $\begin{eqnarray*} \lambda*a \in Unterraum \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+b \in Unterraum \end{eqnarray*}$

wenn ich eines davon schon widerlege, kanns ja kein unterraum mehr sein?

21.08.2012, 23:59

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, aber das dürfte schwer werden (siehe mein Edit im ersten Beitrag)

22.08.2012, 00:02

peda

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok ein edit smile

aber wieso sollte das so schwer werden? die funktion bildet ja von R auf R ab, d.h. f(x) ist in R enthalten also kann ich lambda = f(x) setzen oder? ich weiss das klingt bissl abenteuerlich, aber es würd mir so daugn smile

22.08.2012, 00:09

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

f(x) ist in R enthalten

Nein ist es nicht. Es ist nur $\begin{eqnarray*} f(x_0)\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ für ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .
Kleines Beispiel: Wenn Du die Winkelhalbierende h(x)=x als Grundlage nimmst, darfst Du diese mit jeder beliebigen reellen Zahl multiplizieren und erhälst damit alle Ursprungsgeraden. Wenn Du aber h(x) mit sich selbst multiplizierst, dann wird jedes x mit einem anderen Wert multipliziert (nämlich sich selbst), Du erhälst dann aber kein reelles Vielfaches der Funktion (wie in der Definition des Unterraums gefordert), sondern nur ein polynomiales Vielfaches.

22.08.2012, 00:19

peda

Auf diesen Beitrag antworten »

ich kenn leider h(x) = x nicht, muss ich gleich nachlesen wo.

aber wenn x aus R ist und f von R auf R abbildet, wieso sollte dann nicht f(x) auch in R enthalten sein? verwirrt

22.08.2012, 00:31

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil f(x) die Funktion mit dem Platzhalter x bezeichnet und nicht ein Element des Wertebereichs.

Wichtig ist, dass Du erkennst, dass W Funktionen als ganzes enthält und nicht einzelne Bilder oder reelle Zahlen.

22.08.2012, 00:38

peda

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt das hab ich jetzt nicht wirklich beachtet.. aber trotzdem kommen als funktionen nur diejenigen vor die als x ein element aus R hernehmen oder seh ich da was komplett falsch?

ich glaub ich geh jetzt dann amal schlafen :P Hammer

22.08.2012, 00:44

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist das ganze, inklusive Definitions- und Wertebereich.
Der Bildraum ist zwar eine (nicht notwendig echte) Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , aber das interessiert in dieser Aufgabe erst einmal nicht. Löse Dich erst einmal von dem Argument und gehe davon aus, dass Du von der Funktion f auf die Funktion $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot f \end{eqnarray*}$ über gehst. Erst danach kommt das Argument wieder zum Tragen.

Neue Frage »

Antworten »

teilraum erzeugt durch ungerade Funktionen

Verwandte Themen