Konvergenz von Reihen

22.08.2012, 09:57

Kmac

Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich merke gerade, dass mir nicht klar ist, was die konvergenz einer Reihe aussagt.
Angenommen wir haben die Potenzreihe der sinusfunktion, welche auf dem gesamten Definitionsbereich konvergiert.
Und was sagt das jetzt aus??

Meine Ideen:
Danke! kmac

22.08.2012, 10:07

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von Kmac
Und was sagt das jetzt aus??

Eben genau, daß die Potenzreihe der Sinusfunktion für alle x aus R (auch aus C) konvergiert.

Das ist nicht mit jeder Reihe so, wie man leicht an $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$ erkennt.

22.08.2012, 10:10

Leopold

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Manchmal ist es einfacher, mit einem Gegenbeispiel anzufangen. So besitzt etwa die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{1-x} \, , \ \ x \neq 1 \end{eqnarray*}$

die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$

Sie konvergiert nur für $\begin{eqnarray*} -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$ und stellt dort auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ dar.

Beispiel 1: $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \end{eqnarray*}$

Und diesen Wert nimmt auch die Reihe für $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \ldots = 2 \end{eqnarray*}$

Beispiel 2: $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

Die Reihe konvergiert nicht: $\begin{eqnarray*} 1 + 1 + 1 + 1 + \ldots \end{eqnarray*}$
Das nimmt einen nicht wunder, denn auch $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ ist ja nicht definiert.

Beispiel 3: $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$

Die Reihe konvergiert nicht: $\begin{eqnarray*} 1 - 1 + 1 - 1 \pm \ldots \end{eqnarray*}$
Dennoch ist $\begin{eqnarray*} f(-1) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ definiert.

Beispiel 4: $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$

Die Reihe konvergiert nicht: $\begin{eqnarray*} 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots \end{eqnarray*}$
Dennoch ist $\begin{eqnarray*} f(2) = -1 \end{eqnarray*}$ definiert.

Man kann daher sagen, daß die bis auf $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ überall definierte Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$ mit ihrer Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$ übereinstimmt.

22.08.2012, 10:24

Kmac

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RE: Konvergenz von Reihen
Hallo für die schnellen antworten:

"Man kann daher sagen, daß die bis auf $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ überall definierte Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$ mit ihrer Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$ übereinstimmt."

Also heißt das, dass jede Potenzreihe einer Funktion f(x) in ihrem Konvergenzradius gegen f(x) konvergiert (sogar absolut) und außerhalb des konvergenzrasius divergiert die Reihe. die Grenzen muss man seperat betrachten. Freude

ok das habe ich verstanden, danke!

Kann mir noch jemand sagen für was ich dieses Wissen weiterhin brauche??

Ich sehe jetzt gerade, dass in einigen Büchern steht, dass die Reihe im Konvergenzradius absolut und gleichmäßig konvergiert. (aber nicht gegen welche funktion;es seidenn das ist klar??)
Konvergiert sie immer im Konvergenzkreis gegen die Grenzfunktion f(x) (aus der sie entstanden ist)???oder kann sie gegen eine andere Funktion konvergieren?

Ich muss jetzt nochmal was zufügen: "Falls die Taylorreihe konvergiert, konvergiert sie nicht notwendig gegen f" steht in meinem Buch.
und da die Taylorreihe eine Potenzreihe ist, gehe ich davon aus, dass Potenzreihen in ihrem Konvergenzradius nicht immer gegen f konvergieren müssen.
Bei der geometrischen Reihe ist das dann einfach Zufall?

22.08.2012, 10:45

Leopold

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Bei sogenannten analytischen oder holomorphen Funktionen ist das der Fall: Die Taylorreihe konvergiert im Konvergenzgebiet immer gegen die Funktion, der sie entstammt. Es gibt aber auch andere Beispiele. Das berühmteste:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \operatorname{e}^{- \frac{1}{x^2}} & \mbox{für} \ x \neq 0 \\ 0 & \mbox{für} \ x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Man kann zeigen, daß die Funktion beliebig oft differenzierbar ist, auch an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , und daß für alle Ableitungen

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) = 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Damit ist die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ die Nullreihe. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist aber sicher nicht die Nullfunktion.

22.08.2012, 10:55

Kmac

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Vielen Dank Leopold! ich denke ich habe es verstanden! smile

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