Konvergenz einer Folge

22.08.2012, 11:27

Hugolein

Konvergenz einer Folge

Hallo ihr,
ich habe hier ein Übungsblatt aber eine Aufgabe ist mir ein Rätsel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{2x+sin(x/2)}{x+cos(x)} \end{eqnarray*}$
davon soll ich den Grenzwert bestimmen.

da die Aufgaben davor und danach mit L'Hôspital zu machen sind habe ich das hier auchmal probiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{2x+sin(x/2)}{x+cos(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2+cos(x/2)\cdot \frac{1}{2}}{1-sin(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-sin(x/2)\cdot \frac{1}{4}}{-cos(x)} \end{eqnarray*}$

aber das führt doch so zu nichts weil im Zähler und Nenner sin(x) bzw. cos(x) steht, die nie wegfallen.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

vielen Dank schon einmal,
Hugolein

22.08.2012, 11:49

Leopold

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Die L'Hospitalsche Regel ist keine Umformungsregel. Sie muß immer rückwärts (!!!) gelesen werden. Erst wenn der Limes des Quotienten der Ableitungen existiert, existiert auch der Limes des ursprünglichen Bruchs. Darüberhinaus muß dieser ursprüngliche Bruch ein unbestimmter Ausdruck von der Form $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ sein.

i) Der erste Umformungsschritt ist ungültig. Zwar ist der vorliegende Bruch beim Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ von der Form $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ . Aber der Limes des zweiten Bruches existiert offensichtlich nicht (nimm für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geradzahlige bzw. ungeradzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ). Das verbietet die Anwendung von L'Hospital.

ii) Abgesehen davon, daß ja schon der erste Umformungsschritt falsch ist, darf auch die zweite Umformung nicht vorgenommen werden. Denn der Bruch in der Mitte ist für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ kein unbestimmter Ausdruck der in der Regel vorausgesetzten Form. Anwendung von L'Hospital verboten!

Eine schöne Aufgabe! Sie zwingt einen dazu, sich klarzumachen, daß Regeln nur unter gewissen Voraussetzungen angewendet werden dürfen. Wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist, geht halt auch kein Pythagoras ...

Und wie löst du nun die Aufgabe? Setz doch einfach einmal große Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein. Was wird denn da passieren, je größer du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ machst? Der gesunde Menschenverstand genügt zur Lösung der Aufgabe. Niemand begibt sich doch freiwillig "ins Krankenhaus", wenn es auch ohne Notoperation geht!

22.08.2012, 12:12

Hugolein

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Zitat:

Original von Leopold
[...]Und wie löst du nun die Aufgabe? Setz doch einfach einmal große Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein. Was wird denn da passieren, je größer du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ machst? Der gesunde Menschenverstand genügt zur Lösung der Aufgabe. [...]

nun, der Grenzwert gegen den der Ausdruck konvergiert ist 2, das ist mir klar.

Aber wie schaffe ich das mit vernünftigem Rechenweg und nicht durch ausprobieren?

22.08.2012, 12:24

Leopold

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Es gibt zur Berechnung keine Formel. Du mußt dir selber eine Methode zurechtlegen. Tip: Sinus und Cosinus sind durch 1 und -1 nach oben bzw. unten beschränkt. Schätze also den vorliegenden Bruch nach oben und unten ab, damit du ein Sandwich bekommst.

22.08.2012, 16:55

Hugolein

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ok noch ein Versuch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{2x+sin(x/2)}{x+cos(x)}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x}+\frac{sin(x/2)}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{cos(x)}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{sin(x/2)}{x}}{1+\frac{cos(x)}{x}} = \frac{2+\lim_{x \to \infty}\frac{sin(x/2)}{x}}{1+\lim_{x \to \infty}\frac{cos(x)}{x}} = \frac{2+0}{1+0} = \frac{2}{1} = 2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?
Also braucht man kein L'Hôpital...

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