Konvergenzradius

22.08.2012, 12:04

Sattelpunkt

Konvergenzradius

Meine Frage:
Ich hab Probleme den Konvergenzradius der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{2^j + 3^j}{4^j} \cdot (z-4i)^j \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Meine Ideen:
Ich habs mit dem Quotienten und dem Wurzelkriterium versucht, hänge aber irgdenwie an der Summe unter der Wurzel.

EDIT: Latex-Tag korrigiert (klarsoweit)

22.08.2012, 12:47

Mork vom Ork

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RE: Konvergenzradius
Wo ist das Problem?

Mit $\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{2^n+3^n}{4^n} \end{eqnarray*}$ landest Du mit Cauchy-Hadamard bei

der Grenzwertbetrachtung von

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{2^n+3^n}{4^n}}. \end{eqnarray*}$

Für den Zähler des Bruches unter der Wurzel findest Du Schranken, welche die Anwendung des Einschließungskriteriums ermöglichen.

Beim Quotientenkriterium hast Du:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac 43\cdot\frac{\left(\frac 23\right)^n+1}{\left(\frac 23\right)^{n+1}+1}. \end{eqnarray*}$

Und dann ist auch nicht mehr viel zu tun...

25.08.2012, 17:00

Sattelpunkt

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Ist mir jetzt noch nicht so ganz klar. Wie löst man $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{2^n+3^n} \end{eqnarray*}$ ??

27.08.2012, 08:56

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius
Gar nicht, denn es geht hier um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^n+3^n}{4^n}} \end{eqnarray*}$ . smile

Und da hilft die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 0 \leq \sqrt[n]{\frac{2^n+3^n}{4^n}} \leq \sqrt[n]{\frac{3^n+3^n}{4^n}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt bilde mal von der rechten Seite den Grenzwert.

27.08.2012, 10:49

Mork vom Ork

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von klarsoweit
Und da hilft die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 0 \leq \sqrt[n]{\frac{2^n+3^n}{4^n}} \leq \sqrt[n]{\frac{3^n+3^n}{4^n}} \end{eqnarray*}$

Für das Einschließungskriterium sollte aber die untere Schranke etwas 'verbessert' werden:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{0+3^n}{4^n}} \leq \sqrt[n]{\frac{2^n+3^n}{4^n}} \leq \sqrt[n]{\frac{3^n+3^n}{4^n}}. \end{eqnarray*}$

27.08.2012, 10:50

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Mork vom Ork
Für das Einschließungskriterium sollte aber die untere Schranke etwas 'verbessert' werden:

Nee, ist nicht nötig. Die Null macht das tadellos. Augenzwinkern

27.08.2012, 14:21

Mork vom Ork

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Mork vom Ork
Für das Einschließungskriterium sollte aber die untere Schranke etwas 'verbessert' werden:

Nee, ist nicht nötig. Die Null macht das tadellos. Augenzwinkern

Doch doch für das die Anwendung des Einschließungskriteriums ist das ist schon nötig.
Da aber 'nur' der $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ benötigt wird kann man natürlich auch anders argumentieren und mit 0 als unterer Schranke auskommen, dann aber nicht mittels Einschließungskriterium.

27.08.2012, 15:00

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius
Ja, hast recht. Habe da irgendwas falsch gesehen. Hammer

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