Welche x lösen folgende Ungleichung?

22.08.2012, 16:00

Sunset90

Welche x lösen folgende Ungleichung?

Hey Leute, ich rechne gerade Übungszettel aus den Tutorien durch und könnte wohl etwas Hilfe von euch gebrauchen Augenzwinkern

Aufgabe:
Welche $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ lösen folgende Ungleichung?

$\begin{eqnarray*} \frac {a}{x-a} > \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , mit a > 0

Ich habe zwar ne Lösung von der Tutorin, aber ich kann's leider nicht so recht verstehen.
Es soll wohl ne Fallunterscheidung gemacht werden?!

Ich selbst hätte erst versucht die Ungleichung nach x umzustellen aber das hat bei mir nur dazu geführt, dass sich das x aufgelöst hat.

Bin dankbar für jede Hilfe! Augenzwinkern

22.08.2012, 16:19

zyko

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RE: Welche x lösen folgende Ungleichung?
Hallo

forme aus deiner Ungleichung eine Gleichung und bestimme alle x, für die diese Gleichung erfüllt ist.
Wähle jetzt ein beliebiges x, das die Gleichung nicht erfüllt, z.B. x=a/2. Erfüllt dieses x deine Ungleichung, dann erfüllen alle benachbarten x bis zu den nächstliegenden Nullstellen der Gleichung (evtl. bis $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ ) die Ungleichung.

Fallunterscheidungen sind immer dann notwendig, wenn die gewünschte Rechenoperation nicht sinnvoll oder nicht erlaubt ist, z.B. x=a oder x=0.
Falls du lieber mit der Ungleichung rechnen möchtest, musst du bedenken, dass bei Multiplikationen mit negativen Zahlen sich die Ungleichung verändert:
aus > wird < und umgekehrt.

22.08.2012, 16:46

Sunset90

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RE: Welche x lösen folgende Ungleichung?
Danke schonmal, aber wie macht man aus einer Ungleichung eine Gleichung?!

22.08.2012, 17:07

zyko

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RE: Welche x lösen folgende Ungleichung?
Hallo
Aus einer Ungleichung wird eine Gleichung, indem du das Ungleichheitszeichen durch das Gleichheitzeichen ersetzt; denn bei stetigen monotonen Ausdrücken erfolgt an den Nullstellen ein Vorzeichenwechsel:
z.B.
1. $\begin{eqnarray*} x-a<0 \end{eqnarray*}$
Lösung:
2. $\begin{eqnarray*} x-a=0 \end{eqnarray*}$
d.h.
$\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt für $\begin{eqnarray*} x<a \end{eqnarray*}$ hat die linke Seite der Gleichung 1. ein anderes Vorzeichen als für $\begin{eqnarray*} x>a \end{eqnarray*}$

22.08.2012, 17:20

Alive-and-well

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RE: Welche x lösen folgende Ungleichung?

Zitat:

Original von Sunset90
Es soll wohl ne Fallunterscheidung gemacht werden?!

Ich selbst hätte erst versucht die Ungleichung nach x umzustellen aber das hat bei mir nur dazu geführt, dass sich das x aufgelöst hat.

Wenn da versuchst nach x umzustellen, ist der erste schritt wohl "*x"(oder *(a-x) )
jetzt musst du unterscheiden ob x >0 bzw. ob x <0 ist da sich das Relationszeichen drehen würde. Also Fallunterscheidung!

Glück auf

22.08.2012, 19:45

Dopap

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eine solche Bruchungleichung darf man wie gewohnt mit dem Hauptnenner multiplizieren um die Brüche zu entfernen. Nun gibt es nur 2 Fälle zu berücksichtigen:

1.) HN > 0 und
2.) HN < 0

wenn HN>0 die Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ besitzt , dann besitzt HN< 0 die Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} D_2=\mathbb R \backslash D_1 \end{eqnarray*}$ abzüglich der Nullstellen von HN=0

die Lösungsmenge bei 1.) führt auf $\begin{eqnarray*} L_1^* \end{eqnarray*}$
die Lösungsmenge bei 2.) führt auf $\begin{eqnarray*} L_2^* \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} L_1= L_1^*\cap D_1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} L_2= L_2^*\cap D_2 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} L=L_1\cup L_2 \end{eqnarray*}$

man kann das also systematisch angehen.

12.09.2012, 01:05

Sunset90

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Ich komm da irgendwie nicht weiter.... tut mir echt leid.

Also wenn ich das ganz so umstelle:

$\begin{eqnarray*} x (1 - a) < a \end{eqnarray*}$

und im 1. Fall annehme: $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ , dann folgt laut Musterlösung daraus, dass $\begin{eqnarray*} x > a \end{eqnarray*}$ .
Das erscheint mir nicht logisch. Zumindest nicht wenn $\begin{eqnarray*} a > 1 \end{eqnarray*}$ ist, und das könnte ja theoretisch hier der Fall sein, da die Bedingung nur vorgibt dass $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Auch wenn ich beispielhaft annehme a = 5 und x = 2, dann ist die Ungleichung immernoch erfüllt... ich verzweifel da ein wenig...

12.09.2012, 07:28

Dopap

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Du kannst nicht einfach die Ungleichung umstellen und dann mit Überlegungen anfangen.

Dein Umstellen erfordert schon Einschränkungen, die aber nirgends vermerkt sind.

Wie wäre es mit etwas Systematik?:

$\begin{eqnarray*} \rm HN>0 \Rightarrow D_1: x<0 \lor x>a ~ \rightarrow \\<br /> ax>x-a ~~\text{oder}~~ x(1-a)< a \quad \Rightarrow \quad \rm L_1^{*} \end{eqnarray*}$

wenn du jetzt dein Beispiel mit a=5 und x=2 hernimmst, wirst du feststellen, dass das nicht in der Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} \rm D_1 \end{eqnarray*}$ liegt.

Jetzt also $\begin{eqnarray*} \rm L_1^* \end{eqnarray*}$ bestimmen und mit $\begin{eqnarray*} \rm D_1 \end{eqnarray*}$ schneiden...

12.09.2012, 11:28

Sunset90

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Ich bin nicht sicher ob ich diese mathematische Sprache schon richtig interpretieren kann.
Also dieses hier:

Zitat:

Original von Dopap $\begin{eqnarray*} \rm HN>0 \Rightarrow D_1: x<0 \lor x>a ~ \rightarrow \\<br /> ax>x-a ~~\text{oder}~~ x(1-a)< a \quad \Rightarrow \quad \rm L_1^{*} \end{eqnarray*}$ .

Mit HN ist der Hauptnenner gemeint?
Das heißt wir nehmen an das bei $\begin{eqnarray*} \frac {a}{x-a} \end{eqnarray*}$ der Nenner $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ ist ?

und weiterhin folgt daraus die Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ , die besagt dass $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x > a \end{eqnarray*}$ ist?

EDIT: Wenn x < 0 und x > a dann würde das ja bedeuten, dass a < 0, aber in der Aufgabe ist ja vorgegeben, dass a > 0. Hatte ich ja im ersten Post mit angegeben.

12.09.2012, 14:55

HAL 9000

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Ich vertrete mal nur kurz Dopap (will also keinesfalls hier übernehmen):

Mit HN ist hier der Hauptnenner von linker und rechter Seite der Ungleichung gemeint, also $\begin{eqnarray*} x(x-a) \end{eqnarray*}$ . Bei Multiplikation der Ungleichung mit diesem Hauptnenner ist es wichtig, welches Vorzeichen er hat, denn dementsprechend bleibt das Relationszeichen > der Ungleichung erhalten (bei HN>0), oder es dreht sich um zu < (bei HN<0).

Diese wichtige Tatsache hast du nämlich anscheinend überhaupt noch nicht auf deinem Radar. unglücklich

Und da dies eben zu beachten ist, muss man bzgl. des Hauptnenners diese Fallunterscheidung HN>0 bzw. HN<0 führen.

Zitat:

Original von Sunset90
Wenn x < 0 und x > a

$\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ steht für oder, also "x<0 oder x>a".

12.09.2012, 19:33

Sunset90

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Dass sich das Ungleichheitszeichen dreht wenn man beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert weiß ich schon.
Ich scheitere wohl an irgendwas anderem.... =/

Ich habe nicht das Gefühl, dass ich verstanden habe was ihr mit dem Hauptnenner meint.
Warum der Hauptnenner hier $\begin{eqnarray*} x(x-a) ~~\text{oder}~~ x(1-a) \end{eqnarray*}$ (hattest du dich verschrieben oder sollte es wirklich x(x-a) heißen?) sein soll verstehe ich nicht. Unter (Haupt-)Nenner verstehe ich irgendwie noch den Teil unterm Bruchstrich...

12.09.2012, 20:02

Dopap

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mmh... du schreibst unter Hochschule. Die Aufgabe ist durch den Parameter a nicht wirklich leicht, zumindestens muss man sich reinbeissen oder von vorneherein eine geschicktere Fallunterscheidung wählen ( x>a ? )

Wenn der Begriff Hauptnenner bei einer Summe oder Gleichung von Brüchen schon solche Probleme bereitet, dann weiss ich jetzt nicht mehr, wie wir den Rest bewältigen sollten.

Vllt. schaust du erstmal unter Hauptnenner = kleinstes gemeinsames Vielfaches nach.

Hat sonst jemand noch einen Rat verwirrt

12.09.2012, 20:24

Sunset90

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Ist ja auch ne Hochschulaufgabe... und normalerweise weiß ich auch was der Hauptnenner ist bzw. wie man einen findet.
Wenn ich da aber keine Brüche vor mir habe, dann ist doch der Hauptnenner eigentlich überall 1.

Ich bin normalerweise kein Hoffnungsloser Fall in Mathe, aber offensichtlich steh ich gerade irgendwie auf dem Schlauch.

12.09.2012, 20:28

Dopap

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RE: Welche x lösen folgende Ungleichung?

Zitat:

Original von Sunset90

$\begin{eqnarray*} \frac {a}{x-a} > \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , mit a > 0

keine Brüche ?

12.09.2012, 20:32

Sunset90

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Naja in dem moment bin ich von dem hier ausgegangen: $\begin{eqnarray*} xa > x-a \end{eqnarray*}$ .
Aber okay, gehen wir mal wieder von der Ursprungsform der Aufgabenstellung aus.
Muss ich also jetzt erstmal den Hauptnenner von $\begin{eqnarray*} \frac{a}{x-a} ~~\text{und}~~ \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ finden?

Edit:
Wenn ich beide Brüche auf den gleichen Nenner bringe steht da $\begin{eqnarray*} \frac{xa}{x(x-a)} ~~\text{und}~~ \frac{x-a}{x(x-a)} \end{eqnarray*}$

12.09.2012, 20:36

Dopap

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natürlich richtig Freude

12.09.2012, 20:53

Sunset90

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Ah okay, das hilft doch schonmal weiter.
Wenn ich jetzt annehme, dass der HN > 0 ist, dann kann ich daraus auch schlussfolgern dass x > a sein muss.

12.09.2012, 21:18

Sunset90

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Muss ich jetzt schauen was mit dem x passiert wenn a > 1, a < 1 und a = 1 ?

und dann nochmal das gleiche für denn Fall der HN < 0 ist ?

12.09.2012, 21:37

Dopap

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Zitat:

Original von Sunset90
Ah okay, das hilft doch schonmal weiter.
Wenn ich jetzt annehme, dass der HN > 0 ist, dann kann ich daraus auch schlussfolgern dass x > a sein muss.

deine letzte post übergehe ich mal.

was du Schussfolgern kannst ist:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \rm HN>0 \Rightarrow D_1: x<0 ~~ \text{oder}~~ x>a ~ \rightarrow \end{eqnarray*}$

12.09.2012, 21:57

Sunset90

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Scheibenkleister... ich dachte ich habs gleich verstanden.

Also ich hab mir jetzt den Hauptnenner vorgenommen: $\begin{eqnarray*} x(x-a) \end{eqnarray*}$ und angenommen dass dieser > 0 ist.

Zuerst hab ich das ausmultipliziert und $\begin{eqnarray*} x^2 - xa \end{eqnarray*}$ erhalten. Wenn das > 0 sein soll, muss x > a sein. Was hab ich denn falsch gemacht?

12.09.2012, 22:16

Dopap

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y= x(x-a) ist eine Parabel mit den Nullstellen 0 und a.

( a ist immer > 0 , wird immer vorausgesetzt )

zwischen 0 und a ist die Parabel im Negativen.

was folgt daraus?

12.09.2012, 22:54

Sunset90

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Ah okay, daraus folgt, dass entweder x < 0 oder x > a sein muss damit der Hauptnenner > 0 ist.
Ohne den Tipp mit der Zeichnung hätte ich das wohl nie gesehen...

12.09.2012, 23:28

Dopap

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ja, das sind die kleinen Feinheiten.

Die Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ steht nun fest.

Nun geht es um , wie schon ausgeführt - und von dir berechnet- um die Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} x(1-a)<a \end{eqnarray*}$ die zur Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ führen.

bitte wieder aufpassen: ist 1-a positiv oder negativ?

Hier sind schon wieder 2 Fälle zu unterscheiden!

edit--------------------------------

das ist das Reinbeissen! auch in Mathe gibts nicht immer was geschenkt

13.09.2012, 00:53

Sunset90

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Ja ich beschäftige mich auch wirklich nur so lange mit dieser Aufgabe, weil ich denke, dass es mich ein Stück nach vorn bringt wenn ich sie endlich verstehe.

Also ich mach dann mal weiter mit meinen Überlegungen hier:

Wenn ich mit der Deifinitionsmenge $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ nun weiterarbeite, nehme ich bei $\begin{eqnarray*} x(1-a) < a \end{eqnarray*}$ für a drei verschiedene Fälle an:

a) $\begin{eqnarray*} a < 1: \end{eqnarray*}$

dann ist die Ungleichung erfüllt für alle $\begin{eqnarray*} x < \frac{a}{1-a} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} a > 1: \end{eqnarray*}$

dann ist die Ungleichung erfüllt für alle x > 0

c) $\begin{eqnarray*} a = 1: \end{eqnarray*}$

hier bin ich mir unsicher. Dann wird der Teil in der Klammer ja 0, das bedeutet dass die Ungleichung für jedes beliebige x erfüllt sein müsste, da a > 0.
Oder ist das falsch?

EDIT:
Fällt meine Lösung bei b) (also für alle x > 0) jetzt weg, weil dies nicht in unserer $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ liegt?

13.09.2012, 23:55

Dopap

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leider ist es heute schon ziemlich spät .

Ich habe keine Einwände. Nun ist es an der Zeit die Teillösungen mit der Definitionsmenge zu schneiden.

a.) $\begin{eqnarray*} a<1 : \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rm L_{11}=\{x| x<0 \quad \lor \quad x>a \land x <\frac a {1-a}\} \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} a>1 : \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rm L_{12}=\{x| x>a \quad \lor \quad x >\frac a {1-a} \land x <0\} \end{eqnarray*}$

c.) $\begin{eqnarray*} a=1 : \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rm L_{13}=\{x| x<0 \quad \lor \quad x >1\} \end{eqnarray*}$

nun wäre noch II.) dran.

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