Potenzen in Dezimalbruchdarstellung von 1/(10^n-i) für 1<i<9

22.08.2012, 21:22

Iorek

Potenzen in Dezimalbruchdarstellung von 1/(10^n-i) für 1<i<9

Aloha,

mir wurde vor ein paar Tagen im Vorkurs folgende Frage gestellt:

Betrachtet man die Dezimalbruchdarstellung von $\begin{eqnarray*} \frac 1{10^n-i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1<i<9 \end{eqnarray*}$ , so treten die ersten Potenzen von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ aufsteigend geordnet auf.

$\begin{eqnarray*} 1:98=0{,}0\color{red}1\color{black}0\color{red}2\color{black}0\color{red}4\color{black}0\color{red}81632\color{black}65\dots \end{eqnarray*}$ , also

Für größere $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ werden es mehr Potenzen die vorkommen, in $\begin{eqnarray*} 1:998 \end{eqnarray*}$ treten die Zweierpotenzen von $\begin{eqnarray*} 2^0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2^8 \end{eqnarray*}$ auf, in $\begin{eqnarray*} 1:9998 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 2^0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2^{12} \end{eqnarray*}$ ...ähnlich treten in $\begin{eqnarray*} 1:97 \end{eqnarray*}$ die 3er Potenzen auf etc.

Auf die Frage(n) ob das immer so ist bzw. warum das so ist, habe ich bisher keine Antwort; im Tutorium hatte es mir einer meiner Tutis nur für 1/98 und 1/97 vorgelegt, noch nicht die Weiterführung auf 1/998. Eine fertige Begründung hab ich aber noch nicht. Von Airblader kommt folgender Ansatz:

Es ist $\begin{eqnarray*} 100 \equiv i \mod (100-i) \end{eqnarray*}$ ; da im (schriftlichen) Divisionsprozess der erste Rest gerade $\begin{eqnarray*} i<10 \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} 100-i>90 \end{eqnarray*}$ , daher müssen für den nächsten Schritt zwei Nullen von oben geholt werden, was $\begin{eqnarray*} i\cdot 100 \equiv i\cdot i \mod (100-i) \end{eqnarray*}$ liefert. Mit diesem Argument kommt man dann dazu, dass immer ein Faktor $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ dazu kommt, wenn $\begin{eqnarray*} 10*i^k<100-i \end{eqnarray*}$ ist. Das ist aber anscheinend nicht ausreichend; so ist $\begin{eqnarray*} 10*2^4=160>98 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 2^4=32 \end{eqnarray*}$ kommt in der Dezimaldarstellung oben vor.

Lässt sich der Ansatz irgendwie ausweiten oder verbesseren? Oder kennt jemand einen anderen Beweis für diese (potentielle) Regelmäßigkeit?

22.08.2012, 21:28

Airblader

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Meine "Beobachtung" lässt sich natürlich auch auf die allgemeinere Situation für $\begin{eqnarray*} 10^n \end{eqnarray*}$ ausweiten, ist ja aber sowieso nur mal so ein grober Ansatz -- ich hatte mit Zahlentheorie noch nie wirklich zu tun. Big Laugh

air

22.08.2012, 21:55

weisbrot

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RE: Potenzen in Dezimalbruchdarstellung von 1/(10^n-i) für 1<i<9
ich denke das was da steht ist nichts anderes als: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{i^{k-1}}{(10^n)^k} -\frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ . das kannst du bestimmt selbst ausrechnen, das ist genau $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10^n-i} \end{eqnarray*}$ .
denn wenn du genau hinschaust treten die potenzen von i nicht nur bis zu einer bestimmten auf, sondern alle; die 65 am ende des dez.bruchs ist einfach 64 "überschnitten" mit der 1 der 128.
lg

22.08.2012, 22:05

Iorek

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RE: Potenzen in Dezimalbruchdarstellung von 1/(10^n-i) für 1<i<9

Zitat:

Original von weisbrot
idenn wenn du genau hinschaust treten die potenzen von i nicht nur bis zu einer bestimmten auf, sondern alle; die 65 am ende des dez.bruchs ist einfach 64 "überschnitten" mit der 1 der 128.
lg

Alle können bestimmt nicht auftreten, da der Bruch periodisch ist mit Periodenlänge 42. Und auch sonst passt das mit der 65 und der 128 nicht.

$\begin{eqnarray*} 1:98=0{,}01020408163265306 \end{eqnarray*}$ , spätestens die 128 bzw. 256 ist nicht mehr zu finden, evtl. ist $\begin{eqnarray*} 1:96=0{,}010416\overline 6 \end{eqnarray*}$ ein besseres Beispiel. Über eine geometrische Reihe zu gehen hatte ich auch schonmal überlegt, bin aber zu keinem wirklichen Ergebnise gekommen...ich werd mir da aber nochmal Gedanken drüber machen.

Weitere Vorschläge sind aber natürlich immer gern gesehen. Augenzwinkern

22.08.2012, 22:19

weisbrot

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RE: Potenzen in Dezimalbruchdarstellung von 1/(10^n-i) für 1<i<9
doch es treten alle auf, sie "überlappen" sich nur, denn wie ich dir gerade vorgelegt habe ist diese zahl gleich der geom. reihe: 1/100 + 2/10000 + ... + 32/(100^6) + 64/(10^14) + 128/(10^16) + ... .
und 64/(100^7) + 128/(100^8) ist eben gerade 6528/(100^7) --> die "65" ist das, was du in der dezimaldarstellung siehst. wenn wir das spielchen weitertreiben, also noch 256/(100^9) dazuaddieren erkennt man auch weshalb danach (in der dez.darst.) nicht "28", sondern "30" folgt.
du kannst dir vorstellen, dass ab diesem punkt - ab dem die potenzen größer als 10^n werden - soviele "überlappungen" auftreten, dass man die potenzen in der dez.darst. natürlich nicht mehr erkennt.
und dass der bruch irgendwann periodisch wird ist sicher auch kein zufall, dafür hab ich jetzt aber keine zeit mehr.
lg

22.08.2012, 22:34

Iorek

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Ok, dann hab ich deine Umformung mit der geometrischen Reihe falsch verstanden, und deine Aussage ist natürlich richtig, danke schonmal dafür. Das ist mir bei meiner Umformung nicht aufgefallen und zumindest als anschauliche Erklärung ausreichend geeignet. Freude

23.08.2012, 16:32

weisbrot

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hab auch grad gemerkt dass es etwas besser wär die reihe als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{i^{k-1}}{(10^n)^k} \end{eqnarray*}$ anzugeben, wollte iwie startindex bei 0.
man kann so dann zwar auch sehen dass das periodisch wird, aber wirklich befriedigend ist das noch nicht..

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