Sind zwei Raumdiagonalen bei Spat immer gleich lang?

22.08.2012, 22:48	mauschkater	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind zwei Raumdiagonalen bei Spat immer gleich lang? Meine Frage: Hallo, ich habe heute folgende Feststellung gemacht wozu ich gerne den mathematischen Beschweis bzw eine Erklärung hätte: Bei einem Spat sind folgende Punkte gegeben: A(0/0/0), B(3/0/0), C(3/2/0), D(0/2/0), E(-4/6/4), F(-1/6/4), G(-1/8/4), H(-4/8/4) Aufgabe: Geben Sie den Vektor der Raumdiagonalen an und berechen Sie deren Länge. Meine Ideen: Vektoren der Raumdiagonalen: $\begin{eqnarray} \vec{AG} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{OG} - \vec{OA} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{BH} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{OH} - \vec{OB} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{CE} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{OE} - \vec{OC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{DF} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{OF} - \vec{OD} \end{eqnarray}$ Die Beträge (Längen) der Vektoren sind folgende: $\begin{eqnarray} \| \vec{AG} \| \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt{81} \end{eqnarray}$ = 9 LE $\begin{eqnarray} \| \vec{BH} \| \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt{129} \end{eqnarray}$ ~ 11,36 LE $\begin{eqnarray} \| \vec{CE} \| \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt{81} \end{eqnarray}$ = 9 LE $\begin{eqnarray} \| \vec{DF} \| \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt{33} \end{eqnarray}$ ~ 5,74 Zwei Raumdiagonalen sind also gleich groß (AG, CE). Ist das bei jedem Spat der Fall? Wie kann ich das mathematisch korrekt erklären bzw wiederlegen? Ein Beweis oder eine Erklärung wären sehr hilfreich. Danke schonmal!
23.08.2012, 01:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn man das auf 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec u , \vec v , \vec w \end{eqnarray}$ reduziert, dann bilden diese Vektoren o.b.d.A eine Basis und ein Rechtssystem. dann scheidet ja die Diagonale $\begin{eqnarray} \vec u + \vec v +\vec w \end{eqnarray}$ als Längste aus. Bleiben noch die Raumdiagonalen $\begin{eqnarray} \vec u-(\vec v+\vec w) \quad \text {und} \quad \vec v-(\vec u+\vec w) \end{eqnarray}$ und ob die gleich lang sind , musst du selbst entscheiden.

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