Häufungspunkt - Definition in Symbolen

23.08.2012, 11:14

weizenhuhn

Häufungspunkt - Definition in Symbolen

Hallo liebe Mathematiker!

Hätte eine kleine Frage zur Definition in Symbolen des Häufungswertes.
Mir ist im Grunde der Unterschied zu Grenzwert klar.. die Definition ist etwas aufgelockert
durch "unendlich viele Glieder", also dass auch außerhalb unendlich viele Glieder vorkommen dürfen. Aber wie könnte man das in Symbole festhalten?
Hier hab ich die Definition des Grenzwertes (hoffe es stimmt so):

$\begin{eqnarray*} \lim _{ n->\infty }{ { a }_{ n } } =a\quad <=>\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists { n }_{ 0 }\in N\quad \forall n>{ n }_{ 0 }\quad \left| a-{ a }_{ n } \right| <\varepsilon \end{eqnarray*}$

Was müsste ich denn jetzt ändern (bzw. weglassen) damit ich einen Häufungspunkt bekommen würde? Oder anders formuliert: mir ist nicht klar, wo ich hier das "fast alle" hätte?!

Bitte um Hilfe.

23.08.2012, 15:45

Mulder

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RE: Häufungspunkt - Definition in Symbolen
Zur Definition des Häufungspunktes. Nehmen wir uns eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und sagen, sie hat den Häufungspunkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(a) \end{eqnarray*}$ bezeichnen wir jetzt die $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Im Falle von Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist das dann einfach das symmetrische Intervall $\begin{eqnarray*} (-\varepsilon+a, a+ \varepsilon) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wollen wir festhalten, dass da unendlich viele Folgenglieder drin liegen. Das geht so:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon >0 \, \forall n \in \mathbb N \, \, \exists m>n: a_m \in U_{\varepsilon}(a) \end{eqnarray*}$

Gelesen: Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ UND für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ eben innerhalb dieser Umgebung unseres Häufungspunktes liegt. Und damit ist auch gleich klar, dass das unendlich viele sein müssen, denn egal wie groß wir $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wählen oder wie klein wir auch $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wählen, es wird immer ein passendes $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ geben, so dass $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ in dieser Umgebung liegt. Bedenke hier: Über die Folgenglieder $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k>m \end{eqnarray*}$ wird hier keine Aussage getroffen, es geht nur um dieses eine Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ .

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Alternativ kann man natürlich auch hergehen und sagen, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genau dann ein Häufungspunkt ist, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Edit:

Zitat:

Oder anders formuliert: mir ist nicht klar, wo ich hier das "fast alle" hätte?!

Bei deiner Definition vom Grenzwert hast du das "fast alle" hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim _{ n->\infty }{ { a }_{ n } } =a\quad <=>\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists { n }_{ 0 }\in N\quad \color{red} \forall n>{ n }_{ 0 }\color{black}\quad \left| a-{ a }_{ n } \right| <\varepsilon \end{eqnarray*}$

Ab Folgenindex $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ liegen alle Folgenglieder in dieser Umgebung. Und da $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist, gilt insbesondere auch $\begin{eqnarray*} n_0 < \infty \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Das heißt, außerhalb dieser Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ liegen nur die Folgenglieder $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ bis höchstens einschließlich $\begin{eqnarray*} a_{n_0} \end{eqnarray*}$ . Und das können ja nicht unendlich viele sein. Denn zwischen zwei natürlichen Zahlen (in diesem Fall $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ) liegen immer nur endlich viele weitere natürliche Zahlen.

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