Normierter Raum und offene Mengen bzgl unterschiedlicher Normen

23.08.2012, 15:19	Teilmengenmännchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Normierter Raum und offene Mengen bzgl unterschiedlicher Normen Meine Frage: Hi, ich betrachte den VR (V,+,) und die Normen: $\begin{eqnarray} \|\|.\|\|_{1} , \|\|.\|\|_{2} \end{eqnarray}$ auf V Möchte zeigen dass eine Menge M aus V ist offen bzgl. der ersten Norm gdw. M offen ist bzgl der zweiten Norm. Meine Ideen:* Bekannt ist, dass die beiden Normen äuivalent sind (nach einem Satz). Hier eine Definition von Offenheit $\begin{eqnarray} \forall x\in M \exists \alpha > 0 : U_{\alpha}(x) \subset M \end{eqnarray}$ aber wo ist da der bezug zur Norm?
23.08.2012, 15:59	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normierter Raum und offene Mengen bzgl unterschiedlicher Normen hallo teilmengenmännchen, na das ist doch logisch, U_(alpha)(x) ist doch definiert als die menge aller punkte x_1 im metrischen raum, deren differenz x-x_1 bzgl der entsprechenden norm kleiner als alpha ist. Jaja, manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht... gruss ollie3
23.08.2012, 16:42	Teilmengenmännchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhhh ja haste recht. ok nun zum Beweis: $\begin{eqnarray} \exists \alpha , \beta : \alpha \cdot \|\|x\|\|_{1}\leq \|\|x\|\|_{2} \leq \beta \cdot \|\|x\|\|_{1} \forall x\in V \end{eqnarray}$ für die Hinrichtung gelte: $\begin{eqnarray} \forall x_{0}\in M \exists \gamma_{1}: \left\{ x\in V/\|\|x-x_{0}\|\|_{1}<\gamma_{1}\right\} \subset M \end{eqnarray}$ dann gilt auch: $\begin{eqnarray} \Rightarrow \forall x_{0}\in M \exists \gamma_{2}= \alpha^{-1}\cdot \gamma_{1} : \left\{ x\in V/\|\|x-x_{0}\|\|_{2}\leq \frac{ \|\|x-x_{0}\|\|_{1}}{\alpha } < \frac{\gamma_{1}}{\alpha}=\gamma_{2}\right\} \subset M \end{eqnarray}$ und damit ist M bezüglich der zweiten Norm auch offen ?? Rückrichtung analog ???
23.08.2012, 18:55	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, das sieht gut aus. gruss ollie3

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