Extremwertaufgabe maximaler Gewinn

23.08.2012, 16:24	Casio1234567890	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe maximaler Gewinn Meine Frage: Hi ich brauche etwas Hilfe beim Lösen folgender Aufgabe : "Von einer Kaffeesirte werden bei einem Gewinn von 6? pro kg im Monat 10000 kg verkauft. Eine Markanalyse hat ergeben, dass eine Preissenkung um 0,50? je Kilogramm jeweils zu einer Absatzsteigerung von 1500kg im Monat führen würde. Bei welcher monatlichen Verkaufsmenge nimmt der Gesammtgewinn ein Maximum an ?" Ich such nur nach Hilfen für den Lösungsweg nicht nach Gesammtlösungen. Danke schonmal im Vorraus Meine Ideen: Unser Lehrer hat und ein Zwischenergebnis mit der Zielfunktion : G(x) = (6 - 0,5 x) * (10000 + 1500 x) , wobei x die Anzahl der Preissenkungen beschreibt, bereits angegeben. Von da an ist das rechnen ja kein Problem. Aber meine Frage ist jetzt wie ich auf diese Zielfunktion komme.
24.08.2012, 01:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte: Gesamt..., also nur mit einem m _____________ Bei Preis-, Gewinn- und Kostenfunktionen ist x normalerweise die abgesetzte Stückzahl. Hier mit x als Anzahl der Preisreduktionen zu rechnen, dürfte nicht sehr sinnvoll sein bzw. auch nicht stimmen, wie rechnet man denn damit weiter? Da in der Angabe von den Kosten keine Rede ist, ist anzunehmen, dass der Umsatz bereits kostenbereinigt und daher gleich dem Gewinn ist. Die mit der Preissenkung einhergehende Absatzsteigerung bedingt, dass die Preisabsatzfunktion linear mit negativer Steigung verläuft, sie hat daher das Aussehen $\begin{eqnarray} p(x) = mx + b \ ; \quad \text{x .. Stückzahl, p .. Preis} \end{eqnarray}$ Die Steigung m lässt sich jetzt angeben, weil man weiss, dass eine Vermehrung um 1500 Stück eine Preissenkung um 0,5 zur Folge hat (Steigungsdreieck, negative(!) Steigung). Bleibt noch die Berechnung von b, diese erfolgt aus dem Gewinn G(x), der bei 10000 Stück genau 60000 beträgt: $\begin{eqnarray} G(x) = x \cdot p(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(x) = mx^2 + bx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 60000 = m \cdot 10000^2 + 10000 \cdot b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Die somit erhaltenen Funktion G(x) kann dann mittels der Extremwertberechnung weiterbehandelt werden. Wenn du alles richtig gerechnet hast, sollte sich der maximale Gewinn (Umsatz) bei 42000 Stück einstellen. mY+

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