Extremwertaufgabe: Wer hat die größte Schultüte?

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23.08.2012, 20:04	regeln	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe: Wer hat die größte Schultüte? Guten abend, Heute haben wir in der schule eine aufgabe zur größten schultüte erhalten. dabei besitzt man ein kreisförmiges stück papier und soll daraus die größte schultüte basteln (das Volumen ist gemeint). Ansatz war das volumen eines kegels: V= $\begin{eqnarray} 1/3pir^2h \end{eqnarray}$ h kann man in abhängigkeit von r angeben wegen dem satz des pythagoras. also s²=h²+r² deshalb ist das Volumen: (wobei s nun eine konstante ist) V(r)= $\begin{eqnarray} 1/3pir^2Wurzel(s^2 - r^2) \end{eqnarray}$ Da ich das Maximum suche habe ich dies einmal abgeleitet mit der produktregel und kettenregel. Dann erhalte ich V'(r)= $\begin{eqnarray} 1/3pi2r Wurzel(s^2 - r^2) + 1/3pir^2(-)2r1/(2Wurzel(s^2 - r^2)) \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich die erste Ableitung gleich 0 gesetzt und erhalten für r1=s r2= $\begin{eqnarray} +Wurzel(2)s \end{eqnarray}$ und für r3= $\begin{eqnarray} -Wurzel(2)s \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich meine r's in V(r) eingesetzt und erhalte 0, also kein volumen, weil die wurzel immer negatives enthält und ich so ja nicht die wurzel aus einer negativen zahl ziehen kann. Wooo zum Teufel ist der Fehler? Ich finde ihn einfach nicht. Ich brauche eure Hilfe!! Schönen Abend wünsch ich euch allen Kleine Tippfehler behoben
23.08.2012, 20:17	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Warum hast du nicht V(h) gebildet? Dann hättest du dir die ganze Wurzelgeschichte sparen können. Ich werde deine Ableitung gleich mal überprüfen, irgendwo muss da der Wurm drin stecken, denn bis dahin stimmt deine Rechnung.
23.08.2012, 20:46	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Schreiben wir deine richtig gebildete Ableitung mal ein bisschen schöner auf: $\begin{eqnarray} V'(r)= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2r \cdot \sqrt{s^2 - r^2} +\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot (-)2r \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{s^2 - r^2} } \end{eqnarray}$ Dann fassen wir zusammen: $\begin{eqnarray} V'(r)= \frac{2}{3}\cdot \pi \cdot r \cdot \sqrt{s^2 - r^2} - \frac{\pi \cdot r^3}{ 3 \cdot \sqrt{s^2 - r^2} } \end{eqnarray}$ Nun setzen wir Null und formen um: $\begin{eqnarray} \frac{2}{3}\cdot \pi \cdot r \cdot \sqrt{s^2 - r^2} = \frac{\pi \cdot r^3}{ 3 \cdot \sqrt{s^2 - r^2} } \end{eqnarray}$ Ich erhalte die gleichen Ausdrücke für r und h, die ich auch sehr viel schneller mit V(h) errechnet habe.
23.08.2012, 20:56	regeln	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Das mit V(h) geht dann doch viel schneller . Schonmal danke für den tipp. Ich hab das jetzt mit V(h) gemacht, erhalte am ende für h: $\begin{eqnarray} h= +/- s Wurzel(1/3) \end{eqnarray}$ Muss also der positive wert sein. wenn ich das jetzt in v(h) $\begin{eqnarray} V(h)=1/3pi( (sWurzel(1/3))^2 - s^2) sWurzel(1/3) \end{eqnarray}$ erhalte ich ein negatives Volumen ?? nämlich $\begin{eqnarray} V=( (-)Wurzel(1/3)2)/9) pis^3 \end{eqnarray}$ Was hab ich denn jetzt schon wieder falsch gemacht, langsam zweifel ich an mir :S Danke schonmal Edit:Tippfehler
23.08.2012, 21:01	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Zunächst: Dein Ergebnis für h ist richtig , ich würde es so angeben: $\begin{eqnarray} h = \frac{1}{3} s\sqrt{6} \end{eqnarray}$ Zum Ausrechnen: Du ziehst in der Wurzel jetzt s² von h² ab, es muss aber andersrum sein. PS: Wenn du den Formeleditor (rechts) benutzt, kannst du sehr einfach Wurzeln und Brüche darstellen.
23.08.2012, 21:18	regeln	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Ach ja, wieder ein Fehler. Aber ich hab es bearbeitet. Habe jetzt für das Volumen raus: $\begin{eqnarray} V=((Wurzel(6) pi)/27)s^3 \end{eqnarray}$ Ich hoffe das Ergebnis stimmt nun?! Und schonmal vieeeelen dank für deine tolle Hilfe Gruß Bernd PS: Welches symbol ist der Formeleditor? Danke
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23.08.2012, 21:25	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Hmm, so ganz ist es noch nicht richtig. Wo kommt die Wurzel (6) her? Außerdem fehlt mir der Faktor 2 Das hier ist der Formeleditor: [attach]25604[/attach] Einfach draufklicken.
23.08.2012, 21:36	regeln	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Erm, h ist doch laut dir $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}s\sqrt{6} \end{eqnarray}$ Das habe ich in $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{3}\pi * ( s^2 -h^2) * h \end{eqnarray}$ eingesetzt. Ergibt doch: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\pi ( s^2 - (\frac{1}{3}s\sqrt{6})^2) * \frac{1}{3}s\sqrt{6} \end{eqnarray*}$ ??
23.08.2012, 21:44	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Oh, da habe ich h und r verwechselt. $\begin{eqnarray} h = \frac{1}{3} s\sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r = \frac{1}{3} s\sqrt{6} \end{eqnarray}$ Das hätte dir doch auffallen müssen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{ \frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\sqrt{ 6} \end{eqnarray}$ sein kann. Sorry nochmal.
23.08.2012, 21:48	regeln	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Ok dann hab ich für das Volumen folgendes raus: $\begin{eqnarray} \frac{2\pi \sqrt{\frac{1}{3} } }{9} s^3 \end{eqnarray*}$ Jetzt aber Und danke für den Tipp mit dem Formeleditor geht echt schneller und einfacher
23.08.2012, 21:51	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Ja, das ist das maximale Volumen . Ich hatte es so geschrieben: $\begin{eqnarray} V_{max } = \frac{2}{27} \pi s^3\sqrt{3} \end{eqnarray}$ Aber das ist nur eine andere Optik.
23.08.2012, 21:54	regeln	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Vieeeelen Dank und ich wünsch dir einen galaktischen Abend
23.08.2012, 21:58	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer hat die größte Schultüte?? Gern geschehen und dir auch einen schönen Abend.

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