Grenzwert nur mit Reihenentwicklung ?

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert nur mit Reihenentwicklung ?
ein Exschüler und jetzt Mathestudent verwirrt schickte mir per Postkarte (!) die Aufgabe: bestimmen Sie




wg. Vertrauen etc. möchte ich Ihm schon noch antworten und danach an das Matheboard verweisen. ( auch wenn er keinen privaten Internetzugang haben sollte )
An so ein Ding trau ich mich eigentlich nicht ran.

Meine Idee: Für die Funktion(en) jeweils genügend Glieder der Reihenentwicklung ( bis zur 2.-3.Potenz) nehmen, nach dem Einsetzen von Reihe in Reihe etc. zu hohe Potenzen weglassen, bis evtl. ein (gebrochen- ) rationaler Ausdruck entsteht dessen Grenzwert easy ist.

Frage: ist das zulässig und/oder gibt es hier noch andere Möglichkeiten?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert nur mit Reihenentwicklung ?
Die Frage, die sich hier stellt, ist ja wohl, ob der Grenzwert



bekannt ist... Wenn ja, muss davon der iterierte natürliche Logarithmus genommen werden... Der Rest sollte dann leicht sein...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

der Grenzwert dürfte wohl "e" sein.

Aber warum ist der hier wichtig. Was hat der Ausdruck mit dem ursprünglichen Limes zu tun?

was ist der iterierte natürliche Logarithmus?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, der erste Summand im Zähler des Bruches ist nach einer leichten Umformung ja nichts anderes als



Wegen hat man es insgesamt mit einer unbestimmten Form 0/0 zu tun, d.h., es geht weiter mit L'Hospital...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst also:




warum das nicht mehr unterhalb des lim steht ist mir unklar, ist aber nicht wichtig.

by the way: meine letzte Matheklausur liegt 38 Jahre zurück!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

es ist schon spät und du bist offline, dann versuch ich mal weiter zu machen:

und somit unbestimmt.

Nach den Regeln des Hospitalismus dürfte man nun

setzen.

soweit o.k.?


Bem: das LATEX raubt mir noch den Verstand, obwohl meine Kinder meinen, dass es da nicht mehr viel zu rauben gäbe Big Laugh
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Nach den Regeln des Hospitalismus dürfte man nun

setzen.

soweit o.k.?

Ja, wobei es hier mit einmal ableiten noch nicht getan ist...

Zitat:
Original von Dopap
Bem: das LATEX raubt mir noch den Verstand, obwohl meine Kinder meinen, dass es da nicht mehr viel zu rauben gäbe Big Laugh

Bezüglich "Tiefstellung" von s.o. ... Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

oh je! wenn ich setze, folgt:



offenbar gilt:



und jetzt wie angedroht nochmal eine Runde de L'Hospital. oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic

Wobei - wenn wir ehrlich sind - wir dies doch lieber mit der Reihenentwicklung + Landau-Symbolen



(müsste vom Grad her im vorliegenden Fall "in der Spitze" reichen) als mit L'Hospital lösen. Augenzwinkern

@Dopap

Das entspricht in etwa dem, was du oben unter "Meine Ideen" gesagt hat, nur dass das Weglassen durch die Landau-Symbole ersetzt wird, womit das ganze dann wasserdicht ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hätte oben dazusagen sollen, dass natürlich auch der vorgeschlagene Ansatz mit der Reihenentwicklung (bis zur 3.Potenz) durchaus Sinn macht, aber es geht hier auch standardmäßig mit L'Hospital, was man vielleicht nicht auf den ersten Blick sieht... Welcher Weg dann der einfachere ist, unterliegt der subjektiven Wertung... Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich ziehe in solchen Fällen die Reihenentwicklung vor.


Zähler:








Nenner:




Bruch:

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

dachte ich mir schon.

Zähler mit de L'hopital:



Nenner:
----------------------------------

im Grenzwert nach de L'Hopital =

und jetzt mit dasselbe wieder von Vorne?
Irgendwie scheint sich das im Kreise zu drehen.

----------------------------------------------
Edit: Leopold hat inzwischen geantwortet und meinen Vorschlg durchgezogen Freude
genau so hätte ich es auch gemacht Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Irgendwie scheint sich das im Kreise zu drehen.

Die Gefahr besteht, wenn es einem nicht gelingt, durch geschickte Wahl der Zähler- und Nennerterme die Logarithmen wirksam so zu isolieren, dass sie durch die L'Hospital-Schritte ganz verschwinden. Auch wenn dies möglich ist, so ziehe ich doch den Reihenweg vor, dessen Ausführung nun Leopold ja vollständig verraten hat. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
[...] den Reihenweg vor, dessen Ausführung nun Leopold ja vollständig verraten hat. Augenzwinkern


na gut, auf die letzte Zeile hätte er evtl. verzichten können.

Ich finde, das ist ein nicht zu einfaches Beispiel, an dem man über L'Hospital versus Reihenentwicklung doch einiges Lernen kann. Jedenfalls ich!

Besten Dank für die Beiträge an alle Beteiligten. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vollständigkeit halber ein (!) möglicher L'Hospital-Weg:



Wie man sieht, hilft rechtzeitiges Abtrennen solcher gebrochen rationalen Terme mit Nicht-Null-Grenzwert in Zähler und Nenner - wie hier - die abzuleitenden LH-Terme zu "bändigen".

EDIT: Alles nochmal etwas vereinfacht. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

[ Ich dachte mir insgeheim schon, dass du den Thread nicht halbnackig wirst stehen lassen können Augenzwinkern ]

Somit bin ich in der Lage auf 2 Ebenen argumentieren zu können.

Jetzt kann der Thread mit ruhigem Gewissen in's Archiv.
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