Existenz der Verteilungsfunktion aus Existenz der Dichtefunktion

24.08.2012, 10:54

_Nici_

Existenz der Verteilungsfunktion aus Existenz der Dichtefunktion

Meine Frage:
Hallo an alle Helfenden,

ich habe eine Frage zum Zusammenhang der Existenz der Verteilungsfunktion und der Existenz der Dichtefunktion. In meinem Fall ist klar, dass eine Dichtefunktion f existiert. Allerdings sind keinerlei Aussagen über Stetigkeit oder Integrierbarkeit gegeben. Ist es möglich, allein aus der Existenz der Dichtefunktion auf die Existenz einer stetigen Verteilungsfunktion zu schließen?

Meine Ideen:
Ich habe an den Satz von Radon Nikodym gedacht, der von der Existenz einer absolut stetigen Verteilungsfunktion auf die Existenz der Dichte schließen lässt. Allerdings handelt es sich ja hierbei um keine "genau dann wenn"-Beziehung.

Ich bin für jeden Tipp sehr dankbar! Vielen Dank im Voraus!!!

24.08.2012, 11:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von _Nici_
Ist es möglich, allein aus der Existenz der Dichtefunktion auf die Existenz einer stetigen Verteilungsfunktion zu schließen?

Ja, denn diese Verteilungsfunktion ist dann

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

als Integralfunktion natürlich stetig.

Die Umkehrung gilt allerdings nicht: Denn zu einer zwar stetigen, aber nicht absolut-stetigen Verteilungsfunktion gibt es keine Dichte, siehe z.B. Cantor-Funktion.

24.08.2012, 11:21

_Nici_

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort.

Das heißt, ich argumentiere einfach über die Definition der Verteilungsfunktion?

24.08.2012, 11:58

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wieso? Die Definition der Verteilungsfuinktion ist bei mir immer noch $\begin{eqnarray*} F_X(x):= P(X\leq x) \end{eqnarray*}$ . Das hier

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

ist lediglich eine Eigenschaft im Falle absolutstetiger Zufallsgrößen, keine Definition.

P.S.: Ich finde übrigens, dass in deiner Threadüberschrift das wesentliche fehlt, nämlich das Wort "stetig". Denn die bloße Existenz der Verteilungsfunktion ist ja für jede Zufallsgröße gewährleistet.

24.08.2012, 12:51

_Nici_

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Ich gebe mal an, worauf ich insgesamt hinauskommen muss. Im Gesamtbild ist der Threadtitel wahrscheinlich sehr daneben... tut mir leid.

Gegeben ist erst einmal nur eine Dichtefunktion f ohne Angaben über Stetigkeit, die meiner Meinung nach aber gegeben sein muss.

Das Integral über f muss zum Einen darstellbar sein als $\begin{eqnarray*} \int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$ . Zudem soll die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) := \int_a^x f(t)dt \end{eqnarray*}$ in x0 differenzierbar sein mit F´(x0) = f(x0), sodass die Verteilungsfunktion eine Stammfunktion ist. Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung muss f dazu auf dem Intervall [a,b] integrierbar und stetig für jeden Punkt x0 in diesem Intervall sein.

Weiterhin benötige ich jetzt eine Stammfunktion von F, sagen wir G, mit G'(x0) = F(x0). Deswegen wollte ich ganz am Anfang auf die Stetigkeit von F hinaus. Als stetige Funktion ist F auf jedem kompakten Intervall [a,c] integrierbar. Ich muss auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a, \infty[ \end{eqnarray*}$ integrieren. Für die Verteilungsfunktion F existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist F auf $\begin{eqnarray*} [a, \infty[ \end{eqnarray*}$ integrierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} \int_a^{\infty} F(t)dt = 1 - G(a) \end{eqnarray*}$ und G'(x0) = F(x0). (Für die Dichtefunktion wäre die Argumentation hinsichtlich des uneigentlichen Integrals $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .)

Das ist die gesamte Argumentationskette, die ich versuche, aufzubauen.

24.08.2012, 13:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt massiv irritiert, wieso du die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ integrieren willst? Übst du da einen leichtsinnigen Umgang mit Groß-/Kleinschreibung (also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vs. $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ), oder wie soll ich das deuten? Denn inhaltlich macht diese Integration von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ keinen Sinn. unglücklich

24.08.2012, 13:59

_Nici_

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist schon so gewollt.

Ich erkläre noch den Rahmen dazu. Es geht insgesamt um eine Nutzenfunktion U, die von zwei Variablen abhängt, sagen wir mal a und b. Der Nutzen kann als Erwartungswert der stetigen Zufallsvariable y interpretiert werden und sieht beispielsweise so aus (das Original ist verzwickter): $\begin{eqnarray*} U = \int_a^b ayf(y)dy + \int_b^{\infty} yf(y)dy \end{eqnarray*}$

Die Variablen a und b werden jetzt infinitesimal geändert und es soll betrachtet werden, welche Auswirkung das auf den Nutzen hat. Dazu wird in dem Beweis, den ich versuche aufzubereiten, das totale Differential 2. Ordnung berechnet, wofür die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung nach a und b berechnet werden müssen. Aus diesem Grund möchte ich die Nutzenfunktion integralfrei schreiben. Damit einerseits das funktioniert und dann auch einfach wieder das Ableiten mit F'(x0) = f(x0) überlege ich, welche Annahmen für f gelten müssen. Es reicht aber nicht nur f zu integrieren, wegen dem Integral über $\begin{eqnarray*} \int_a^b yf(y)dy \end{eqnarray*}$ . Hier verwende ich partielle Integration und stoße dabei auf den Punkt $\begin{eqnarray*} \int_a^b F(y)dy \end{eqnarray*}$ . Deswegen habe ich G eingeführt mit G'(x0) = F(x0).

Ich hoffe, es ist klarer geworden, wieso ich das alles mache... Mein Problem ist vor allem, dass die Autoren diese Rechnung durchführen, aber keinerlei Aussagen über f getroffen haben.

Mir ist aufgefallen, dass der letzte Teil meines letzten Beitrages falsch ist begzüglich des uneigentlichen Integrals über F. Es müsste $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}G(x) \end{eqnarray*}$ existieren, aber darüber hab ich ja überhaupt keine Aussage...

24.08.2012, 16:53

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt lichtet sich ein wenig der Nebel:

Dir geht es also eigentlich um den Erwartungswert dieser Zufallsgröße, bzw. (wenn ich das richtig deute) um Erwartungswerte von Funktionen dieser Zufallsgröße - das entfernt sich natürlich etwas von dem im Eröffnungsposting angesprochenen Problem. Augenzwinkern

Zitat:

Original von _Nici_
Mir ist aufgefallen, dass der letzte Teil meines letzten Beitrages falsch ist begzüglich des uneigentlichen Integrals über F. Es müsste $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}G(x) \end{eqnarray*}$ existieren, aber darüber hab ich ja überhaupt keine Aussage...

Dein Konstrukt $\begin{eqnarray*} \int_a^{\infty} F(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ ist so nicht machbar: Wegen $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\to\infty} F(t)=1 \end{eqnarray*}$ für jede, wirklich jede Verteilungsfunktion divergiert dieses Integral!!! Du muss also zu diesem Zweck bei der partiellen Integration mit einer anderen Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ arbeiten, nämlich $\begin{eqnarray*} F(t)-1 \end{eqnarray*}$ . In dem Zusammenhang möchte ich an die bekannte Erwartungswertformel

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int\limits_0^{\infty} (1-F_X(t)) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

erinnern, die für jede nichtnegative Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt (d.h. nicht nur für stetige). Tatsächlich ist es dann auch so, dass im Falle einer nichtnegativen Zufallsgröße der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \int_a^x (F(t)-1) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

genau dann existiert, wenn auch der Erwartungswert dieser Zufallsgröße existiert. Diesen Teil solltest du also in deinen Überlegungen entsprechend korrigieren, sonst haut das mit dem Grenzübergang bei deinen uneigentlichen Integralen nicht hin.

24.08.2012, 17:33

_Nici_

Auf diesen Beitrag antworten »

VIELEN DANK... bei mir lichtet sich gerade auch einiges smile

Ich wollte mit meiner ersten Frage nicht gleich mit der Tür ins Haus fallen, deswegen ging die erstmal in eine andere Richtung... ich bin jetzt aber sehr froh, dass sich das Gespräch in diese Richtung entwickelt hat Augenzwinkern

.

Dass das uneigentliche Integral allein über F divergiert, ist mir dann auch klar geworden.
Die von dir vorgegebene Stammfunktion erhalte ich durch Ausklammern von -1 aus der Erwartungsformel (nur damit ich alle Schritte verstehe). Klar und der Grenzwert, dessen Existenz ich brauche, der ergibt sich ja dann als $\begin{eqnarray*} - E(X) + \int_0^a (1-F_{X}(t))dt \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten trifft für mich die Formulierung "bekannte Erwartungswertformel" irgendwie nicht zu. Auch in den zwei Wahrscheinlichkeitstheorie Büchern, die ich grad vor mir habe, habe ich diese Formel nicht auf Anhieb gefunden.

Okay, mit dieser Überlegung sollte dann die Argumentationskette funktionieren. Jetzt überprüfe ich noch, ob sich an den partiellen Ableitungen etwas ändert.

Noch eine letzte Frage: Ist es zu pauschal, die Existenz des Erwartungswertes anzunehmen, nachdem der ganze Artikel, mit dem ichs zu tun habe, ja über diese Erwartungswerte der Funktionen der Zufallsgröße argumentiert?

24.08.2012, 17:45

_Nici_

Auf diesen Beitrag antworten »

So, wegen $\begin{eqnarray*} \int_a^b yf(y)dy = [y(F(y) - 1)]_a^b - \int_a^b (F(y) -1)dy = bF(b) - b - aF(a) + a - G(b) + b + G(a) - a = bF(b) - aF(a) - G(b) + G(a) \end{eqnarray*}$ ändert sich an der partiellen Ableitung am Ende nichts. Nur dass eben jetzt für $\begin{eqnarray*} b \to \infty \end{eqnarray*}$ das uneigentliche Integral existiert, oder?

24.08.2012, 17:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist es: Für endliche $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ kannst du jede Stammfunktion nehmen, und da muss natürlich auch jedesmal dasselbe rauskommen. Meine Bemerkung bezog sich ja ausdrücklich auf das zugehörige uneigentliche Integral, d.h. für $\begin{eqnarray*} b\to\infty \end{eqnarray*}$ .

24.08.2012, 17:58

_Nici_

Auf diesen Beitrag antworten »

Super!

Dann treffe ich für mein Konstrukt zum einen die Annahme, dass die Dichtefunktion f stetig ist, um darauf dann die stetig differenzierbaren Funktion F und G aufbauen zu können und als zweite Annahme muss der Erwartungswert der Zufallsgröße existieren.

Vielen lieben Dank für deine Geduld und deine Hilfe!!!

Neue Frage »

Antworten »

Existenz der Verteilungsfunktion aus Existenz der Dichtefunktion

Verwandte Themen