Extrema einer Funktion von x und y

24.08.2012, 16:25

Klösp

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Extrema einer Funktion von x und y

a) Zeigen Sie, dass die Funktion g genau fünf stationäre Punkte hat.
b) Ermitteln Sie die lokalen Extrema der Funktion g.

$\begin{eqnarray*} g(xy)=(4x^2+y^2)*e^{-x^2-4y^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^{-x^2-4y^2}*4x^2+e^{-x^2-4y^2}*y^2 \end{eqnarray*}$

dx/dg= $\begin{eqnarray*} -2xe^{-x^2-4y^2}*4x^2+e^{-x^2-4y^2}*8x-2xe^{-x^2-4y^2} \end{eqnarray*}$
dy/dg= $\begin{eqnarray*} -8ye^{-x^2-4y^2}*4x^2-8ye^{-x^2-4y^2}*y^2+2ye^{-x^2-4y^2} \end{eqnarray*}$

Nun meine Überlegung bisher:

Also für (0,0) wird der Gradient =0

Dann reicht es für die Ableitung nach x, dass x =0 ist damit sie verschwindet.
Analog reicht es für die Ableitung nach y, dass y=0 ist damit sie verschwindet.

Das heißt es gibt Null stellen bei (0 , irgendwas nicht =0) und (irgendwas nicht =0, 0).

Dazu vermute ich mal ,dass man die Werte auf Grund der Quadrate sowohl positiv und negativ einsetzen kann.

Dann hätte ich die 5 stationären Punkte.

Aber ich gerade kein blassen schimmer wie ich an die dran kommen soll.
Vermutlich übersehe ich nur irgendwas einfaches, wäre nett wenn mal jemand drauf schauen könnte.

Danke im Vorraus.

24.08.2012, 16:39

Che Netzer

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RE: Extrema einer Funktion von x und y
Hallo,

schreibe doch mal beide Ableitungen als Produkt.
Und du sollst die Punkte $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ finden, für die $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\tfrac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)&\tfrac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , d.h. BEIDE Ableitungen sollen Null sein.

mfg,
Ché Netzer

24.08.2012, 17:02

Klösp

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Sorry ich steh gerade voll aufm Schlauch

Als Produkt schreiben?
so?

$\begin{eqnarray*} -2xe^{-x^2-4y^2}*4x^2+e^{-x^2-4y^2}*8x-2xe^{-x^2-4y^2}*[-8ye^{-x^2-4y^2}*4x^2-8ye^{-x^2-4y^2}*y^2+2ye^{-x^2-4y^2}] \end{eqnarray*}$

Das beide Ableitungen gleich null werden sollen, ist mir klar.

Aber wenn ich weiß das wenn die dx/df bei x=0 und einem beliebigen y Null wirde, dann ist doch wenn ich ein y finde, bei dem dy/df =0 wird auch der Gradient Null.

24.08.2012, 17:09

Che Netzer

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Jetzt hast du beide Ableitungen miteinander multipliziert. Ich meinte, dass du die Ableitungen in Produktform bringen solltest, so wie die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auch ursprünglich dargestellt worden ist.

Ach ja, in der ersten Ableitung (der nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ) fehlt im letzten Summanden auch noch ein Faktor.

Schreibt ihr eigentlich wirklich $\begin{eqnarray*} \frac{\partial x}{\partial g} \end{eqnarray*}$ , d.h. mit der abzuleitenden Funktion im Nenner? geschockt

geschockt

24.08.2012, 17:25

Klösp

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1. Nein tun wir nich, habs nur gerade irgendwie verhauen
2.
also:
$\begin{eqnarray*} ((-2xe^{-x^2-4y^2}*4x^2+e^{-x^2-4y^2}*8x-2xe^{-x^2-4y^2}*y^2) (-8ye^{-x^2-4y^2}*4x^2-8ye^{-x^2-4y^2}*y^2+2ye^{-x^2-4y^2})) \end{eqnarray*}$

Ich hab aber ehrlich keine Ahnung was ich damit jetzt anfangen soll.

Danke

24.08.2012, 17:29

Che Netzer

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Damit sollst du auch nichts anfangen.
Schreibe nur eine der beiden Ableitungen um. Schreibe diese als Produkt, indem du den Exponentialterm ausklammerst.

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26.08.2012, 14:42

Klösp

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Wenn ich dich richtig verstanden habe!?

Also für die erste Ableitung:
$\begin{eqnarray*} ((e^{-x^2-4y^2})(-8x^3+8x-2xy^2)) \end{eqnarray*}$

Ableitung 2:
$\begin{eqnarray*} ((e^{-x^2-4y^2})(-16x^2y-8y^3+2y)) \end{eqnarray*}$

Mir ist aber immer noch nicht klar wo hin das führen soll. Hammer

Hammer

26.08.2012, 14:46

Che Netzer

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Ja, genau so.
In $\begin{eqnarray*} \frac{\partial g}{\partial y} \end{eqnarray*}$ sollte die $\begin{eqnarray*} 16 \end{eqnarray*}$ aber eine $\begin{eqnarray*} 32 \end{eqnarray*}$ sein.

Jetzt sollen diese beiden Ausdrücke Null sein. Kannst du da irgendetwas kürzen oder Ausklammern?

26.08.2012, 14:56

Klösp

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Sorry, du musst mich wo langsam für total blöd halten.
Nicht zu unrecht!

meinst du ich soll im zweiten Teil der ersten Ableitung z.b 8x ausklammern
und in der zweiten Teil z.b 32y?

26.08.2012, 15:02

Che Netzer

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Der Faktor ist jeweils etwas zu hoch, aber ja, so ungefähr meine ich das.
Erst kannst du jeweils $\begin{eqnarray*} 2\mathrm e^{-x^2-4y^2} \end{eqnarray*}$ kürzen, danach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ausklammern.

26.08.2012, 15:12

Klösp

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$\begin{eqnarray*} ((2e^{-x^2-4y^2})(-4x^3+4x-xy^2)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((2e^{-x^2-4y^2})(x(-4x^2+4-y^2))) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((2e^{-x^2-4y^2})(-16x^2y-4y^3+y)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((2e^{-x^2-4y^2})(y(-16x^2-4y^2+1))) \end{eqnarray*}$

so in etwa?

26.08.2012, 15:17

Che Netzer

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Ja, und weil das beides gleich Null gesetzt werden soll, kannst du den linken Faktor wegkürzen (der ist ja immer positiv).

Dann erhältst du zwei etwas hübschere Gleichungen.

26.08.2012, 15:36

Klösp

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also

$\begin{eqnarray*} (x(-4x^2+4-y^2))=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y(-16x^2-4y^2+1))=0 \end{eqnarray*}$

26.08.2012, 15:42

Che Netzer

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Genau. Und daraus kannst du dir jetzt die Lösungen suchen.
Beginne also mit einer Fallunterscheidung, ob $\begin{eqnarray*} x=y=0 \end{eqnarray*}$ etc.

26.08.2012, 16:12

Klösp

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und wieder versteh ich nix mehr!

Ich hätte jetzt gedacht ich schreib die beiden Terme in der Klammer als Gleichungssystem und löse das!?

26.08.2012, 16:14

Che Netzer

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Ja, das verstehe ich ja unter "Lösungen suchen".
Dabei solltest du aber z.B. als erstes den Fall $\begin{eqnarray*} x=y=0 \end{eqnarray*}$ betrachten.

26.08.2012, 16:34

Klösp

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In dem Fall würde ja der jeweils der Teil vor der Klammer =0 werden.

Dann ist wohl (0,0) ein stationärer Punkt.

Aber wenn ich mich nicht täusche ist das Gleichungssystem nicht lösbar, weil linear abhängig.

26.08.2012, 16:49

Che Netzer

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Ja, der Nullpunkt ist eine Lösung. Jetzt betrachte
- $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y\neq0 \end{eqnarray*}$ ,
- $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ und
- $\begin{eqnarray*} x,y\neq0 \end{eqnarray*}$ .

Wo siehst du denn da lineare Abhängigkeit?

26.08.2012, 18:41

Klösp

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Zitat:

Wo siehst du denn da lineare Abhängigkeit?

Falsch abgeschrieben, sry

- $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y\neq0 \end{eqnarray*}$ ,

1: =0 2: $\begin{eqnarray*} =y(-4y^2+1) \end{eqnarray*}$ welches für y=+-0,5 Null wird

- $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

1: x(-4x^2+4) welches für x=+-1 Null wird 2: =0

Heißt dass, das meine Nullstellen sind?
1: (0;0) 2: (1; 0,5) 3: (-1; -0,5) 4: (1; -0,5) 5: (-1; 0,5)

und für den Fall $\begin{eqnarray*} x,y\neq0 \end{eqnarray*}$ müsste das Gleichungssystem dann noch eine Lösung ergeben.

26.08.2012, 19:16

Che Netzer

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Du vermischst die Nullstellen...
Für den Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y\neq0 \end{eqnarray*}$ erhältst du ja wohl nicht $\begin{eqnarray*} (x,y)=(1,\tfrac12) \end{eqnarray*}$ als Lösung, oder?

Und für $\begin{eqnarray*} x,y\neq0 \end{eqnarray*}$ musst du dir das Gleichungssystem auch nochmal ansehen.

26.08.2012, 19:46

Klösp

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Ich Trottel!

Also für den Fall x;y ungleich Null muss ich doch diese Gleichungssystem lösen, oder?
$\begin{eqnarray*} <br /> -4x^2+4-y^2=0<br /> 16x^2-4y^2+1=0 \end{eqnarray*}$

für welches ich aber wenn ich mich nicht vertan habe keine Lösung bekommen.

und die anderen stationären Punkte müssten dann sein:

1: (0;0) 2: (0; 0,5) 3: (0; -0,5) 4: (1; 0) 5: (-1; 0)

26.08.2012, 20:21

Che Netzer

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Ja, jetzt stimmt es.

26.08.2012, 20:31

Klösp

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Na dann kann ich ja jetzt mit der eigentlichen Aufgabe anfangen^^
Aber den Spaß spar ich mir für morgen auf.

Auf jeden Fall schonmal ein riesen Dankeschön für die Hilfe und die unglaubliche Geduld...

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