Cauchyscher Integralsatz

24.08.2012, 16:31	Flip01	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchyscher Integralsatz Meine Frage: Der Satz besagt, dass wenn ich ein einfach zusammenhängendes Gebiet U habe und f auf diesem Gebiet holomorph ist, das Integral über jede stückweise differenzierbare geschlossene Kurve, die inerhalb von U verläuft 0 wird. Die Frage lautet nun: Warum ist das Integral über eine Funktion auch 0, wenn diese nur auf dem Inneren holomorph ist und auf dem Rand nur stetig ist? Meine Ideen: Da ein kompaktes Gebiet betrachtet werden soll, ist die Funktion also gleichmäßig stetig. Wenn ich den Limes gegen den Rand betrachte, könnte ich Integral und lim vertauschen. Für eine Kreiskurve konnte ich dieses auch zeigen? Wie könnte man dieses für beliebige Kurven aufschreiben??
24.08.2012, 16:57	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchyscher Integralsatz Hallo, ich weiß leider nicht ganz, was du meinst: Wo soll die Funktion nicht holomorph sein? Was ist das Problem? Und was soll ein kompaktes Gebiet sein? Ein Gebiet ist doch per Definition offen. Geht es dir um eine Kurve, die auf dem Rand des Gebiets verläuft? mfg, Ché Netzer
24.08.2012, 17:09	Flip01	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Funktion soll nun laut Vorraussetzung auf der Spur der Kurve nur stetig sein und im Innern der Kurve holomorph. Das Gebiet, in dem die Kurve verläuft ist offen, aber das Innere der Kurve vereinigt mit der Spur der Kurve ist dann ja abgeschlossen. MfG Flip01
24.08.2012, 17:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast also einfach nur eine Kurve $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ , auf dessen Spur die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist. In dem Gebiet, das von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ begrenzt wird (Also ist $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ eine einfache Kurve?), ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ holomorph. Und du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \int_\gamma f(z)\mathrm dz=0 \end{eqnarray}$ ?
24.08.2012, 17:21	Flip01	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, genau
24.08.2012, 17:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann kannst du $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ entsprechend annähern, oder?
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24.08.2012, 18:00	Flip01	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ einen Kreis beschreibt, hab ich mir Folgendes überlegt: Für 0<R<r gilt: $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! f(z) \, dz = \int_{re^{it}} \! f(z) \, dz = \int_0^{2\pi } \! f(re^{it} )ire^{it} \, dt = \int_0^{2\pi } \! \lim_{R \to r} f(Re^{it} )iRe^{it} \, dt = \lim_{R \to r} \int_0^{2\pi } \! f(Re^{it} )iRe^{it} \, dt = \lim_{R \to r} \int_{Re^{it}} \! f(z) \, dz =0 \end{eqnarray}$ Das ist ja jetzt 0, weil die Funktion im Innern holomorph ist und den Grenzwert und das Integral kann ich vertauschen, weil die Funktion gleichmäßig stetig ist, oder nicht? Ich kann das nur nicht für allgemeine Kurven $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ zeigen
24.08.2012, 18:09	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Vertauschung von Integration und Grenzwert sollte kein Problem sein, ginge auch mit Lebesgue. Nimm doch eine Kurvenfolge, die gegen die allgemeine Kurve konvergiert (sowohl "normal" als auch in der Ableitung).

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