Transformationsmatrix für JNF

25.08.2012, 00:44	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrix für JNF Hallo, ich würde gerne den Basiswechsel bestimmen, mit dem ich folgende Matrix auf die Jordansche Normalform bringen will: $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 25 & 34 & 18 \\ -14 & -19 & -10 \\ -4 & -6 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray} P_A = -(t-1)^2(t-3) \end{eqnarray}$ Ich habe die Hauptraumzerlegung: Hau(A, 1) = < $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ > Hau(A, 3) = < $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -7\\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ > Also habe ich: $\begin{eqnarray} S^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0& -7 \\ 0 & 2 & 4 \\ -1 & -1 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Davon das Inverse: $\begin{eqnarray} S = \begin{pmatrix} -3 & -7/2 & -7 \\ 2 & 5/2 & 4 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und damit zusammen: $\begin{eqnarray} SAS^{-1} = \begin{pmatrix} 16 & 25 & 0 \\ -9 & -14 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 15 & 25 &0 \\ -9 & -15 & 0 \\ 0 &0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wegen dem Satz über die Hauptraumzerlegung weiß man, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 15 & 25 \\ -9 & -15 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nilpotent sind. Wir haben in der Vorlesung behandelt, wie man nilpotenten Endomorphismen auf JNF bringen kann. Ich habe raus: $\begin{eqnarray} T_1^{-1} = \begin{pmatrix} 15 & 1 \\ -9 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1/9 \\ 1 & 5/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T_1 * \begin{pmatrix} 15 & 25 \\ -9 & -15 \end{pmatrix} * T_1^{-1} = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ schon auf JNF ist, denke ich mal, man kann $\begin{eqnarray} T_2^{-1} = T_2 = E_1 \end{eqnarray}$ nehmen Nochmal kurz zusammenfassen, was wir alles geschafft haben: Wir haben eine Matrix S mit der wir A auf eine Summe aus Diagonalmatrix und einer anderen Matrix bringen können, wobei sich diese andere Matrix aus nilpotenten Matrizen zusammensetzt. Die nilpotenten Matrix können wir einzeln auf JNF bringen. (Dafür haben wir T_1 und T_2.) Jetzt meine Frage: Wie kriegt man daraus (also aus S, T_1, T_2) eine einzige Transformationsmatrix? Meine Idee (von welcher ich gerne wissen würde, ob sie richtig ist) Aus T_1 und T_2 machen wir eine einzige Matrix T, indem wir die "leeren" Felder in der Matrix mit Nullen auffüllen: $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} 0 & -1/9 & 0 \\ 1 & 5/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und analog $\begin{eqnarray} T^{-1} = \begin{pmatrix} 15 & 1 & 0 \\ -9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn man dann in diesem Beispiel T S * A * S^-1 * T^-1 rechnet hat man es. Aber geht das auch im Allgemeinen immer so, dass man sich sein T nach diesem Verfahren aus den einzelnen T_1, T_2, ... zusammenbauen darf? Ist denn auch im Allgemeinen T invers zu T^-1, wenn man beide Matrizen wie oben beschrieben aus einzelnen T_1, T_2, ... bzw. T_1^-1, T_2^-1, ... zusammensetzt? Viele Grüße Matthias

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