(e^-unendlich) mal (- unendlich)

25.08.2012, 08:26

pingpong500

(e^-unendlich) mal (- unendlich)

Ich habe mir 2 Lösungen überlegt und kann nicht entscheiden, welche die richtige ist:

a) e^-unendlich ist gleich (1 durch e^unendlich), d.h. ein Term, der "quasi" gleich Null ist. Wenn ich nun Null mit (-unendlich) multipliziere, erhalte ich Null. Darf ich so vorgehen?

b) wenn ich hingegen annehme, dass (1 durch e^unendlich) = (1 durch unendlich) ist, und ich im zweiten Schritt diesen Bruch (1 durch unendlich) mit (- unendlich) multipliziere, könnte ich das Unendlich kürzen und behielte (1 mal (-1)) = - 1.

Welches Vorgehen ist richtig? Oder gibt es eine ganz andere Lösung?

25.08.2012, 08:34

Mulder

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RE: (e^-unendlich) mal (- unendlich)

Zitat:

Wenn ich nun Null mit (-unendlich) multipliziere, erhalte ich Null.

Diese Aussage ist falsch. Ebenso alles andere, wie zum Beispiel "unendlich kürzen".

Allgemeine Aussagen sind bei solchen Fällen nicht möglich, insofern sind deine Überlegungen auch nicht sinnvoll. Es kommt darauf an, was für Terme genau man vorliegen hat. Das ist von Fall zu Fall verschieden, was da dann rauskommt.

25.08.2012, 09:09

Monoid

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RE: (e^-unendlich) mal (- unendlich)
Die Unendlichkeit ist soeine Sache... Na ja, du weißt ja, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{a\to \infty} \pm\frac{1}{a} =0 =>...? \end{eqnarray*}$

Dann noch $\begin{eqnarray*} \infty=\infty=1+\infty=2+\infty=>0=1=2 \end{eqnarray*}$ . Mit der Unendlichkeit würde ich aufpassen.

Gruß
Mmm

25.08.2012, 11:24

pingpong500

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Nun, die Fragestellung ist Teil einer Matheaufgabe. Es muss also eine Lösung geben. Wenn meine beiden Vorschläge a) und b) nicht richtig gedacht sind, welche Lösung ist dann die richtige?

Vielleicht wird meine Frage klarer, wenn ich die komplette Aufgabe nenne:
Es soll die Fläche bestimmt werden, die die Funktion f(x)= x^2 mal e^-x mit der positiven x-Achse enschließt. Ich habe das Integral mit partieller Integration soweit gelöst, dass ich am Ende noch folgenden Term "übrig" habe:
1 durch (e^unendlich) mal (-(unendlich)^2 - 2 mal unendlich - 2) - 1 durch (e^0) mal (0-0-2).

Der grün markierte Teil des Terms ergibt 2.
Das Problem ist der rot markierte Teil des Terms, dessen Lösung ich nicht festlegen kann.

Hat jemand eine gute Idee?

25.08.2012, 11:55

Che Netzer

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Zitat:

Original von pingpong500
Nun, die Fragestellung ist Teil einer Matheaufgabe. Es muss also eine Lösung geben.

Das ist übrigens keine schöne Einstellung. In der Schule lernt man leider nicht, dass es auch Probleme gibt, die nicht lösbar sind.

Naja, dieses hier hat eine, aber in deren Erarbeitung mische ich mich mal nicht weiter ein.

25.08.2012, 13:41

Mulder

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Zitat:

Original von pingpong500
Vielleicht wird meine Frage klarer, wenn ich die komplette Aufgabe nenne:

Ja, das hättest du von Anfang an machen sollen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von pingpong500
Es soll die Fläche bestimmt werden, die die Funktion f(x)= x^2 mal e^-x mit der positiven x-Achse enschließt.

Genau das meinte ich: Jetzt haben wir die konkreten Terme, und die brauchen wir auch, um hier sagen zu können, welche deiner Überlegungen Sinn machen und welche nicht.

Deine Stammfunktion ist, wenn ich das richtig entziffere (Formeleditor benutzen, wenn's geht, und "unendlich" als Zahl einsetzen darfst du nicht, da gibt es normalerweise Punktabzüge), korrekt. Du solltest es so notieren:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\infty} x^2 \cdot e^{-x} \, \dd x = \lim_{b \to \infty} \int\limits_0^b x^2 \cdot e^{-x} \, \dd x = \lim_{b \to \infty} \left [ - \frac{x^2+2+2}{e^x} \right ]_0^b = \color{red}\lim_{b \to \infty} -\frac{b^2+2b+2}{e^b} \color{black} - \color{green}\left ( -\frac{0^2+2\cdot 0+2}{e^0} \right ) \color{black} \end{eqnarray*}$

(Ich hab's jetzt in Form von Brüchen hingeschrieben, so wie du es gemacht hast, als Produkt, geht's natürlich prinzipiell auch, das macht ja keinen Unterschied).

So, das, was du bei dir grün markiert hast, ergibt 2, das ist korrekt. Uns interessiert jetzt also nur noch der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} -\frac{b^2+2b+2}{e^b} \end{eqnarray*}$

Da ist jetzt die Frage, was ihr alles schon benutzen dürft. Es gibt eine allgemeingültige Aussage über das Wachstumsverhalten von Exponentialfunktionen und Polynomen im Vergleich. Kennst du eine?

Kennst du die Regel von L'Hospital? Damit würde es auch gehen.

25.08.2012, 16:12

pingpong500

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@Mukler: Vielen Dank für Deine ausführlichen Hinweise!
Ich dachte zunächst, es reicht, die Teilaufgabe einzustellen, aber ich sehe nun den Sinn, die komplette Aufgabe darzustellen.
Sorry für die Schreibweise. Ich musste mir gerade erst mal die Funktion des Formel-Editors klarmachen und versuche, ihn jetzt anzuwenden.

Wenn ich Dich richtig verstehe, ersetzt man das " $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ " in der Rechnung durch eine Variable, hier b, und lässt b gegen unendlich gehen.
Zu Deinen Fragen: Mir ist nicht klar, welche allgemeingültige Aussage zum Wachstumsverhalten von Exponentialfunktion und von Polynomen im Vergleich gemeint ist? Auch die Regel von L'Hospital kenne ich nicht.
Meinst Du mit "Vergleich", den Zähler und den Nenner Deines Termes miteinander zu vergleichen, also die Überlegung: Wenn b gegen unendlich geht, wird dann der Zähler größer als der Nenner oder umgekehrt?
Ich bin gespannt! Vielen Dank für weitere Hilfe!

25.08.2012, 16:20

Mulder

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Zitat:

Original von pingpong500
Zu Deinen Fragen: Mir ist nicht klar, welche allgemeingültige Aussage zum Wachstumsverhalten von Exponentialfunktion und von Polynomen im Vergleich gemeint ist? Auch die Regel von L'Hospital kenne ich nicht.

Ja, dann weiß ich nicht, was diese Aufgabe soll. Ohne entsprechendes Werkzeug kann man sie nämlich nicht sinnvoll bearbeiten. Oder du hast im Unterricht irgendwann gefehlt oder gepennt, keine Ahnung.

Zitat:

Meinst Du mit "Vergleich", den Zähler und den Nenner Deines Termes miteinander zu vergleichen, also die Überlegung: Wenn b gegen unendlich geht, wird dann der Zähler größer als der Nenner oder umgekehrt?

Ja. Oder eben: Was wächst schneller? Simples Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{x^2} \end{eqnarray*}$

Zähler und Nenner gehen beide gegen unendlich, aber der Grenzwert der Funktion ist trotzdem 0, weil der Nenner viel schneller größer wird als der Zähler. Andersrum:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2}{x} \end{eqnarray*}$

Auch hier geht beides gegen unendlich, trotzdem ist der Grenzwert nicht 0 wie oben, sondern hier geht das gesamte Ding gegen unendlich, weil der Zähler hier schneller wächst als der Nenner.

Einen ähnlichen Vergleich brauchen wir hier auch, nur eben zwischen der Exponentialfunktion im Nennre und dem Polynom im Zähler. Was wächst schneller? Nur ist das hier eben etwas schwieriger, weil man nix kürzen kann. Bei meinen beiden Beispielen da oben (die nur zur Verdeutlichung da sein sollen) kürzt man ja einfach einmal x weg.

Und hier weiß ich nicht, wie ich dir weiter helfen kann, wenn du da irgendwie nix an Werkzeugen zur Verfügung hast.

Die e-Funktion wächst jedenfalls schneller als jedes Polynom (egal, wie hoch der Grad des Polynoms ist, da könnte auch $\begin{eqnarray*} x^{1000} \end{eqnarray*}$ stehen, das wäre immer noch egal). Damit geht das Ding insgesamt gegen 0.

PS: Statt "Mukler" (du bist nicht der erste, der das so liest) würde ich Mu l d er eher begrüßen.

25.08.2012, 16:32

pingpong500

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Zwischenzeitlich habe ich mir eine Wertetabelle gemacht und festgestellt, dass für b zwischen Null und 2 zwar der Zähler größer ist, aber von 3 an aufwärts wird der Nenner immer größer als der Zähler. Der Bruch geht daher im Unendlichen gegen Null.
Ich gehe davon aus, dass das Ergebnis der gesamten Aufgabe also 2 ist.
Vielen Dank für die Hilfe!

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