endliche Erzeugte Körpererweiterungen

25.08.2012, 14:50

Arbmosal

endliche Erzeugte Körpererweiterungen

Ich versuche gerade zu beweisen, dass in einer endliche erzeugten Körpererweiterung auch jeder Zwischenkörper endlich erzeugt ist.

Sagen wir wir haben Körpererweiterungen K<M<L, wobei L endlich erzeugt über K ist.

Mein erster Ansatz war zu zeigen, dass L, wenn es endlich erzeugt über K ist eventuell noethersch als K-Modul ist. Aber ich bin mir nicht sicher ob das überhaupt stimmt, habe aber bisher kein Gegenbeispiel gefunden.
EDIT: Ok das geht nicht, da eine Transzendente KE ja kein endlich dimensionaler VR ist^^ Ich Depp =)

Ein anderer Ansatz ist: M als Zwischenkörper beliebig, ist Teilmenge von L, dann ist M entweder algebraisch über K oder nicht. Im ersten Fall muss der Grad endlich sein, denn sonst wäre der algebraische Anteil von L auch von unendlichem Grad.
Im zweiten Fall ist die Transzendensbasis von M über K eine algebraisch unabhängige Menge die sich erweitern lässt zu einer Transzendenzbasis von L über K (stimmt das?).
Wenn die Transzendenzbasis endlich ist, und der algebraische Anteil auch, dann muss M endlich sein.

Ich habe aber das Gefühl, dass hier noch was fehlt

Gruß

26.08.2012, 17:56

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Der "algebraische Anteil" ist kein wohldefinierter Begriff.
Man kann eine endlich erzeugte Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} K\subseteq L \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} K\subseteq K(x_1,..,x_n)\subseteq L \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1,..,x_n \end{eqnarray*}$ ein über K algebraisch unabhängiges System und L über $\begin{eqnarray*} K(x_1,..,x_n) \end{eqnarray*}$ algebraisch. Aber umgekehrt (erst algebraisch, dann rein transzendent) allgemein nicht und die $\begin{eqnarray*} x_1,..,x_n \end{eqnarray*}$ sind auch nicht eindeutig bestimmt.
Was geht ist aus einem gegebenen Erzeugendensystem der Körpererweiterung eine Transzendenzbasis auszuwählen. Dann sind die restlichen Elemente des Erzeugendensystems algebraisch über dem von der Transzendenzbasis erzeugtem Körper, aber natürlich nicht unbedingt über dem Körper K.

Hier nun eine Anleitung für dich:

Deine Aussage

Zitat:

Im zweiten Fall ist die Transzendensbasis von M über K eine algebraisch unabhängige Menge die sich erweitern lässt zu einer Transzendenzbasis von L über K (stimmt das?).
Wenn die Transzendenzbasis endlich ist, und der algebraische Anteil auch, dann muss M endlich sein.

ist zwar nicht ganz richtig formuliert, aber es stimmt, dass eine Transzendenzbasis von M über K mit dieser Begründung endlich sein muss (man kann die Begründung auch etwas abkürzen, wenn man die allgemein gültige Formel $\begin{eqnarray*} trdeg(L/K)=trdeg(M/K)+trdeg(L/M) \end{eqnarray*}$ verwendet) und sich dieser zweite Fall auf den ersten zurückführen lässt.

Der erste Fall (M algebraisch über K) erfordert aber noch etwas Arbeit:
Nimm an, dass es eine über K linear unabhängige unendliche Menge A von Elementen aus M gibt. Wir wollen diese Annahme zum Widerspruch führen. (Dann muss M/K endlich und daher endlich erzeugt sein.)
Wähle eine Transzendenzbasis $\begin{eqnarray*} x_1,..,x_n \end{eqnarray*}$ von L über K. Begründe, dass diese auch algebraisch unabhängig über M ist (das geht gut mit Betrachtung von Transzendenzgraden). Begründe, dass die Erweiterung $\begin{eqnarray*} K(x_1,..,x_n)\subseteq M(x_1,..,x_n) \end{eqnarray*}$ endlich algebraisch ist.
Jetzt zeige noch, dass die Menge A auch linear unabhängig über $\begin{eqnarray*} K(x_1,..,x_n) \end{eqnarray*}$ ist und du bist fertig. (Es ist nützlich erst Linearkombinationen mit Polynomen in $\begin{eqnarray*} K[x_1,..,x_n] \end{eqnarray*}$ als Koeffizienten zu betrachten.)

Neue Frage »

Antworten »

endliche Erzeugte Körpererweiterungen

Verwandte Themen