Grenzwert = 0 über Konvergenz der Reihe zeigen

25.08.2012, 16:16

steviehawk

Grenzwert = 0 über Konvergenz der Reihe zeigen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe eine Frage, wenn ich zeigen will dass eine Folge zum Beispiel die Folge:

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb N} = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

gegen Null konvergiert, kann ich dann auch einfach zeigen, dass die Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

konvergiert?? Das geht nämlich sehr einfach, über das Quotietenkriterium, will man es nur über Grenzwerte zeigen, dann muss man ja abschätzen, was mir nicht so leicht fällt.

Eine Reihe kann ja nur konvergieren, wenn a_n eine Nullfolge ist, also müsste dir Argumentation doch passen oder?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!

25.08.2012, 16:29

Che Netzer

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RE: Grenzwert = 0 über Konvergenz der Reihe zeigen
Hallo,

ja, das kann man so machen, wäre auch mein Weg gewesen Augenzwinkern

mfg,
Ché Netzer

25.08.2012, 16:50

EinGast

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RE: Grenzwert = 0 über Konvergenz der Reihe zeigen

Zitat:

Original von steviehawk
wenn ich zeigen will dass eine Folge zum Beispiel die Folge:

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb N} = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

gegen Null konvergiert

geht hier auch sehr einfach direkt: Es gilt

$\begin{eqnarray*} 0\le a_n \le \frac{1}{n}\Bigl( \frac{2}{n}\cdot \frac{3}{n}\cdot\ldots\cdot \frac{n}{n}\Bigr)\le \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

25.08.2012, 16:55

Che Netzer

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RE: Grenzwert = 0 über Konvergenz der Reihe zeigen
Hm...
Naja, dann schließe ich mich dem Fragesteller wohl an; ich mag Abschätzungen wohl auch nicht smile

25.08.2012, 17:26

shipwater

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Vielleicht wird so klarer warum die Abschätzung gilt:
$\begin{eqnarray*} n!=2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n \end{eqnarray*}$ ist ein Produkt aus $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Faktoren, die alle $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ sind. Damit folgt $\begin{eqnarray*} n! \leq n^{n-1} \end{eqnarray*}$ und insgesamt eben $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} \leq \frac{n^{n-1}}{n^n}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

25.08.2012, 17:28

Che Netzer

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Ist die Schreibweise mit den Brüchen nicht besser zum Verständnis geeignet? Da sieht man ja direkt, dass alle kleiner gleich 1 sind.

25.08.2012, 17:34

shipwater

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Ist ja letztendlich das gleiche. Jedenfalls ist der Weg über das Quotientenkriterium ein Umweg und hier meiner Meinung nach nicht zu empfehlen, da einfachste Abschätzungen ausreichen. Aber jeder darf das natürlich so lösen wie er möchte, so lange das Ergebnis richtig ist.

Gruß Shipwater

25.08.2012, 17:37

Che Netzer

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Ja, wie angedeutet: Die ist mir nicht mehr eingefallen...
Irgendwann hatte ich aber schonmal einen Grenzwert, bei dem es mit irgendeinem Kriterium für Reihen (ich glaube, es war das Quotientenkriterium) tatsächlich am schnellsten geht, diese Methode sollte man also auch nicht ganz ignorieren.

25.08.2012, 17:43

shipwater

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Da hast du Recht. Mit dem Wurzelkriterium kann man so für $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ recht elementar zeigen, dass $\begin{eqnarray*} n^p q^n \xrightarrow{n \to \infty}0 \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

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