f beschränkt dann auch die Ableitung?

25.08.2012, 16:38

steviehawk

f beschränkt dann auch die Ableitung?

Meine Frage:
Hallo Leute, kann man davon ausgehen, wenn die Funktionswerte einer Abbildung beschränkt sind, dann auch die ihrer Ableitung??

also gilt immer: $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq M \Rightarrow |f'(x)| \leq D \end{eqnarray*}$ ??? Wobei M und D obere Schranken sind.

wäre gut, weil dann lipschitzstetigkeit folgen würde.. ich glaube, aber nicht, dass das gilt, weil sonst könnte man ja gleich sagen, dass aus f beschränkt die lipschitzstetigkeit folgt smile

Meine Ideen:
Danke für den Rat

25.08.2012, 17:42

Che Netzer

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RE: f beschränkt dann auch die Ableitung?
Hallo,

nein, das geht leider nicht. Als Gegenbeispiel kannst du dir $\begin{eqnarray*} \sin(x^2) \end{eqnarray*}$ ansehen. Die Funktion ist ganz sicher beschränkt, aber die Ableitung $\begin{eqnarray*} 2x\cos(x^2) \end{eqnarray*}$ ist unbeschränkt.

Als Graph:

mfg,
Ché Netzer

Edit: Für lineare Funktionen/Operatoren folgt aus der Beschränktheit aber tatsächlich die Lipschitz-Stetigkeit.
Edit2: Die beiden Eigenschaften sind im linearen Fall sogar äquivalent.

25.08.2012, 17:43

EinGast

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RE: f beschränkt dann auch die Ableitung?

Zitat:

Original von steviehawk
kann man davon ausgehen, wenn die Funktionswerte einer Abbildung beschränkt sind, dann auch die ihrer Ableitung??

nein, ein Gegenbeispiel ist die Wurzelfunktion $\begin{eqnarray*} f\colon (0,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

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f beschränkt dann auch die Ableitung?

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