Quersumme der Quersumme der Quersumme

25.08.2012, 21:51

af9rx

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Quersumme der Quersumme der Quersumme

Meine Frage:
Hallo Liebe Forumler C:
Ich habe eine schwierige Aufgabe gestellt bekommen.
Hier ist sie:
Was ist die Quersumme der Quersumme der Quersumme von 2000 hoch 2000 ?
Also: Q(Q(Q(2000^2000)))
Aber wie beziehe ich jetzt 2000 hoch 2000 mit ein?

Würde mich sehr über eine Lösung freuen ! (:

Meine Ideen:
Hier ist mein Ansatz:
Wenn ich 2000 hoch 2000 benötige und die Quersumme davon benötige, dann brauch ich nur 2 hoch 200 ausrechnen ,da die 0 bei der Quersumme keine Rolle spielen.

25.08.2012, 22:06

HAL 9000

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Eine natürliche Zahl lässt durch 9 geteilt denselben Rest wie ihre Quersumme.

Diese Eigenschaft mehrfach genutzt lässt die Berechnung von $\begin{eqnarray*} Q\left(Q\left(Q\left(2000^{2000}\right)\right)\right) \end{eqnarray*}$ zu. Das ist ja gerade der Witz an dieser Aufgabe, dass man $\begin{eqnarray*} 2000^{2000} \end{eqnarray*}$ nicht wirklich berechnen muss, sondern wirksam abschätzen kann.

Zitat:

Original von af9rx
Wenn ich 2000 hoch 2000 benötige und die Quersumme davon benötige, dann brauch ich nur 2 hoch 2000 ausrechnen ,da die 0 bei der Quersumme keine Rolle spielen.

Auch ein wichtiger Gedanke, der zur Lösung beiträgt.

26.08.2012, 11:04

af9r

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Okay

Hammer

Aber wie wende ich das jetzt genau an? verwirrt

verwirrt

26.08.2012, 11:15

tmo

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Vielleicht schaust du mal hier

Mathe-Marathon Uni

26.08.2012, 12:41

af9r

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Das versteh ich nicht Hammer

Hammer

verwirrt

26.08.2012, 12:43

tmo

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Was verstehst du daran nicht? Du musst schon etwas Eigeninitiative zeigen, sonst wird das hier nichts.

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26.08.2012, 13:36

rechner

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muss man nicht, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe,
2000 modulo 9 rechnen?

Bekommt man dafür nicht -7 raus?

Zitat:

Lösung 6

Bekanntlich gilt $\begin{eqnarray*} Q(n) \equiv n \mod 9 \end{eqnarray*}$ .
Ferner ist $\begin{eqnarray*} 4444 \equiv -2 \mod 9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4444 \equiv 1 \mod 3 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (-2)^3 \equiv 1 \mod 9 \end{eqnarray*}$ . Alles zusammen liefert $\begin{eqnarray*} 4444^{4444} \equiv -2 \equiv 7 \mod 9 \end{eqnarray*}$ .

Die 7 habe ich auch raus, und zwar folgendermaßen:

4+4+4+4=16

16/9=1 Rest 7

Aber ich verstehe nicht so genau, weshalb du die anderen "Vorrechnungen" gemacht hat? Wofür braucht man denn in dem Fall z.B die -2 oder $\begin{eqnarray*} (-2)^3 \equiv 1 \mod 9 \end{eqnarray*}$ ?
Kann man das nicht direkt so machen wie ich?

26.08.2012, 13:46

af9r

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Könnten wir bitte auf meine Frage zurückkommen?
Wink

Wink

verwirrt

26.08.2012, 13:48

tmo

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Zitat:

Original von af9r
Könnten wir bitte auf meine Frage zurückkommen?
Wink

Wink

verwirrt

Dann komme ich auf meine Gegenfrage zurück:

Zitat:

Original von tmo
Was verstehst du daran nicht?

26.08.2012, 13:50

rechner

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tmo hatte ein Link geschickt, und da war fast die selbe Aufgabe...wenn du vestehst, wie er da vorgegangen ist oder was er da überhaupt gerechnet hat, kannst du das doch locker auf deine eigene Aufgabe übertagen....

26.08.2012, 14:03

af9r

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Okay...
Kann mir dabei jemand helfen..
oder zumindest das system dahinter erklären?

26.08.2012, 14:08

tmo

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So wird das nichts.

Mal etwas Starthilfe:

Wir wollen $\begin{eqnarray*} Q(Q(Q(a^b))) \end{eqnarray*}$ bestimmen, wobei a und b so groß sind, dass wir $\begin{eqnarray*} a^b \end{eqnarray*}$ selbst nicht einfach so "hinschreiben" können.

Im Wesentlich besteht die Lösung doch aus drei Teilen:

1. $\begin{eqnarray*} a^b \mod 9 \end{eqnarray*}$ berechnen.

2. $\begin{eqnarray*} Q(Q(Q(a^b)) \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen.

3. Aus Schritt 1. und 2. und der auch schon in diesem Thread von HAL 9000 erwähnten Eigenschaft

Zitat:

Original von HAL 9000
Eine natürliche Zahl lässt durch 9 geteilt denselben Rest wie ihre Quersumme.

das Ergebnis folgern.

Welcher dieser Schritte ist dir denn nun unklar?

26.08.2012, 16:19

af9r

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Wie berechne ich a^{b} mod 9?
Wie schätze ich ab?

26.08.2012, 16:27

tmo

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Was a^b mod 9 angeht, gebe ich zu mich in meiner Lösung sehr kurz gefasst habe.

Versuchen wir das doch mal langsam anzugehen (jetzt direkt mit 2000^2000)

Was ist denn $\begin{eqnarray*} 2000 \mod 9 \end{eqnarray*}$ ?

Was musst du also "nur" berechnen, wenn du $\begin{eqnarray*} 2000^{2000} \mod 9 \end{eqnarray*}$ berechnen willst?

26.08.2012, 17:33

af9r

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das weiß ich ja nicht!

26.08.2012, 17:38

tmo

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Du kannst nicht den Rest bei der Division von 2000 durch 9 berechnen? Das glaube ich dir nicht. Früher (Hoffentlich heute auch noch) hat man das in der vierten Klasse gelernt.

Aber es geht doch viel einfacher, ich zitiere einfach erneut:

Zitat:

Original von HAL 9000
Eine natürliche Zahl lässt durch 9 geteilt denselben Rest wie ihre Quersumme.

26.08.2012, 20:05

af9r

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Ich hab bis heute noch nicht viel von modulo gelernt :O
aber das hilftmir jetzt erstmal danke Freude

Freude

26.08.2012, 23:52

af9r

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Okay..
Ich hab jetzt nocheinmal gegrübelt Big Laugh

Big Laugh

2000 mod 9 = 2
aber was ist dann 2000 hoch 2000 mod 9 ?

27.08.2012, 07:44

HAL 9000

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Halten wir doch mal das fest, was du bereits im Eröffnungsposting festgestellt hast, nämlich

$\begin{eqnarray*} Q\left( 2000^{2000} \right) = Q\left( 2^{2000} \right) \end{eqnarray*}$

("wegen der irrelevanten End-Nullen"), das ist nämlich nicht nur modulo 9 wichtig, sondern auch wegen der Abschätzung dieser Quersumme nach oben.

Was nun die Berechnung von $\begin{eqnarray*} 2^{2000} \bmod 9 \end{eqnarray*}$ betrifft, da sollte dir der verlinkte Thread etwas Inspiration geben. Etwas gründlichere Einarbeitung in die Modulorechnung kann ebenfalls nicht schaden.

27.08.2012, 08:53

Mystic

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Zitat:

Original von af9r
das weiß ich ja nicht!

Du trittst damit in die Fußstapfen des großen Mathematikers Lagrange, dem sein ständiges "Je ne sais pas" (ich weiß nicht) ihm immerhin in den Wirren der franz. Revolution das Leben gerettet hat... Ob es auch hier was nützt, ist allerdings zweifelhaft... Big Laugh

Big Laugh

Immerhin fühle ich mich bemüßigt, nach diesem OT-Beitrag doch noch was Konstruktives beizusteuern:

$\begin{eqnarray*} 2^{2000} \equiv (2^6)^{\lfloor \frac{2000}6 \rfloor}2^{2000 \mod 6} \mod 9 \end{eqnarray*}$

27.08.2012, 16:59

HAL 9000

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Oder um es mal in ein etwas allgemeineres Schema für ähnlich gelagerte Potenzberechnungen $\begin{eqnarray*} a^b \bmod m \end{eqnarray*}$ für große Exponenten $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ bei teilerfremden $\begin{eqnarray*} a,m \end{eqnarray*}$ zu fassen:

1.Man sucht sich einen vergleichsweise kleinen Exponenten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^k\equiv s \bmod m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} s=-1 \end{eqnarray*}$ (z.B. über den Satz von Fermat-Euler, aber vielleicht auch nur durch Probieren).

2.Man dividiert $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit Rest, d.h. man ermittelt Quotient $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ und Rest $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b=qk+r \end{eqnarray*}$ .

3. Es ist dann

$\begin{eqnarray*} a^b = a^{qk+r} = \left( a^k \right)^q\cdot a^r \equiv s^q\cdot a^r = \begin{cases} -a^r \bmod m &\;\mbox{falls $s=-1$ und $q$ ungerade} \\ a^r \bmod m & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. man kann den Exponenten $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wirksam auf den Rest $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ reduzieren, was insbesondere im Fall $\begin{eqnarray*} k\ll b \end{eqnarray*}$ eine deutliche Erleichterung darstellt.

Sind $\begin{eqnarray*} a,m \end{eqnarray*}$ nicht teilerfremd, dann lässt sich mit leichten Modifikationen trotzdem noch ein ähnliches Ergebnis erreichen, aber das führe ich wegen der Irrelevanz für diesen Thread hier nicht weiter aus.

28.08.2012, 22:50

af9r

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Okay...
Ich habe mir jetzt zu dem ganzen Thread Gedanken usw. gemacht geschockt

geschockt

aber weiter gekommen bin ich auch nicht Hammer

Hammer

Der Link zu der Seite wo das ganze mit 4444 hoch 4444 gezeigt wird , hatt zwar sehr geholfen , ich versteh aber immernoch Bahnhof -.-
Ich hab es auch nach 2 Stunden überlegen es nicht geschafft es auf 2000 hoch 2000 zu übertragen , da ich die zusammenhänge des abschätzen und allem anderen nicht verstehe verwirrt

verwirrt

Kann mir nicht einmal jemand, und wenn nur an dem Beispiel 4444 hoch 4444, in welcher Reihenfolge ich vorgehen muss, welchen system ich einfach folgen muss usw.
Das wäre echt hilfreich Freude

Freude

28.08.2012, 22:57

sulo

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Ist das eine Wettbewerbsaufgabe?

Bisher hast du nicht allzuviel zur Lösung beigetragen, genauer gesagt: Gar nichts.

Verdächtig ist auch, dass du versucht hast, als "DoktorMathe42" in der Rätsel-Ecke die gleiche Aufgabe lösen zu lassen.

Ich bitte die Helfer bis zur Klärung der Angelegenheit hier keine weitere Hilfe zu leisten.

28.08.2012, 23:02

af9r

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Nein!
Ich hab diese Frage von meinem Onkel gestellt bekommen und keine Ahnung woher er sie hat!
Und wenn ich keine Ahnung davon hab kann ich nicht viel beitragen! :o
Deswegen bin ich hier in diesem Forum ! Um es erklärt zu bekommen! So wie ich es als letzt Frage gefragt habe! /:

28.08.2012, 23:03

sulo

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Dann gestehe deinem Onkel deine Unwissenheit, er wird dir die Lösung sicherlich gerne erklären.

smile

smile

28.08.2012, 23:05

af9r

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Tolles Forum :o
Bisher habt ihr so toll geholfen :/

28.08.2012, 23:06

sulo

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Wir geben hier Hilfe zur Selbsthilfe.

Unterstützung hast du nun genug bekommen, jetzt bist du mal dran, uns was vorzurechnen.

smile

smile

28.08.2012, 23:12

af9r

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Ich habe nur noch diese eine Bitte : Kann mir nicht einmal jemand, und wenn nur an dem Beispiel 4444 hoch 4444, in welcher Reihenfolge ich vorgehen muss, welchen system ich einfach folgen muss usw.? :o

28.08.2012, 23:23

sulo

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Ich überlasse es tmo, HAL9000 und Mystic hier abzuwägen, ob sie noch etwas erklären wollen.

Eigentlich haben sie schon sehr viel geschrieben, ohne dass du etwas davon umsetzen konntest.

29.08.2012, 07:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von af9r
Ich habe nur noch diese eine Bitte : Kann mir nicht einmal jemand, und wenn nur an dem Beispiel 4444 hoch 4444, in welcher Reihenfolge ich vorgehen muss, welchen system ich einfach folgen muss usw.? :o

Das System hat tmo hier ausführlichst erläutert, zur Bestimmung von solchen $\begin{eqnarray*} a^b \bmod 9 \end{eqnarray*}$ hast du ausreichend Tipps und auch Beispiele gekriegt, Mystic hat sogar direkt angegeben, wie du das hier rechnen musst ... Wenn du es mit all diesem Überangebot an Hilfen dennoch nicht hinkriegst, dann solltest du es vielleicht einfach sein lassen.

29.08.2012, 21:11

af9r

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;Alles klar.
Nun berechne ich a hoch b mod 9 ... wie?
und wie schätze ich Q(Q(Q(a hoch b))) nun ab?

(wenn ich es könnte würd ich euch hier echt nicht nerven! -.- , aber ich versuche seit mindestens 4 Stunden mit sachen die ihr mir hier gesagt habt was hin zubekommen - vergebens) traurig

traurig

Ich würde es gerne Schritt für schritt mit einem von euch zusammen machen Wink

Wink

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