Fakultäten zusammenfassen

26.08.2012, 16:35

Jola

Fakultäten zusammenfassen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^8 \begin{pmatrix} 2+k \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also, ich möchte die Fakultät nicht berechnen sondern vereinfachen. Dabei komme ich leider nicht weiter.

Meine Ideen:
Ich habe sie dazu ersteinmal aufgelöst in 2 über 2, 3 über 2, bis 10 über 2. 2 über 2 ergibt 1. und weiter? kann ich 3 über 2 und 4 über 2 in 3 über 3 zusammenfassen?? so nach dem motto: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k+ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder geht das wirklich nur wenn n gleich ist? unglücklich

26.08.2012, 16:43

chris95

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RE: Fakultäten zusammenfassen

Zitat:

Original von Jola

so nach dem motto: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k+ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das darfst du nicht machen.

Hier ist es sinnvoll ueber die Definition des Bionomialkoeffizienten zu gehen.

Viele Gruesse,
chris

26.08.2012, 16:43

Monoid

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RE: Fakultäten zusammenfassen
Setz doch mal die Werte in der Aufgabe , in die Definition des Binominalkoeffizienten ein, man kann gut vereinfachen.

26.08.2012, 17:05

Jola

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RE: Fakultäten zusammenfassen

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Setz doch mal die Werte in der Aufgabe , in die Definition des Binominalkoeffizienten ein, man kann gut vereinfachen.

lieben dank schonmal! aber wenn ich das in die formel einsetze hab ich doch das ergebnis berechnet oder nicht? verwirrt

ich hatte die aufgabe mal bis auf 11 über 3 zusammengefasst ich weiß nur nicht mehr wie.

sorry bin ein schwerer fall von matheunverständnis unglücklich

26.08.2012, 17:16

tmo

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Es ist ja $\begin{eqnarray*} \binom{11}{3} = \binom{10}{2} + \binom{10}{3} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt mache dasselbe mit $\begin{eqnarray*} \binom{10}{3} \end{eqnarray*}$ und ersetze entsprechend. Dann taucht $\begin{eqnarray*} \binom{9}{3} \end{eqnarray*}$ auf und da machst immer so weiter...

Das könnte man dann natürlich noch verallgemeinern und kommt zu:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^m \binom{n+k}{n} = \binom{n+m+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

26.08.2012, 17:29

Jola

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RE: Fakultäten zusammenfassen

Zitat:

Original von Jola
so nach dem motto: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k+ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also ginge es doch so wie ich meinte, ur eben für den fall n+1 und nicht k+1?

26.08.2012, 17:39

Jola

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RE: Fakultäten zusammenfassen
ich glaub jetzt hab ichs. ich könnte die 2 über 2 mit 3 über 3 ersetzen da n über n immer eins ergibt. dadurch könnte ich dann die von mir o.g. formel verwenden, so wie sie ist. und bis auf 11 über 3 zusammenfassen smile

ich prüf das nochmal eben nach.

26.08.2012, 17:51

Jola

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RE: Fakultäten zusammenfassen
ok, abschließende Frage...
ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + (\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

richtig? also gibt es diese formel??

oder gibt es nur diese hier:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + (\begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ja dann hab ichs kapiert.
wäre euch sehr dankbar für eine kurze antwort.

26.08.2012, 19:03

Jola

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oh man

hat sich erledigt... danke fürs auf die sprünge helfen.

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