Funktion 3ten Grades Kurvendiskussion

26.08.2012, 16:56

chopsuey

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Funktion 3ten Grades Kurvendiskussion

Meine Frage:
Liebes matheboard-forum,
ich sitze bereits seit Stunden an dieser wahrscheinlich einfach zu lösenden Aufgabe, aber da ich Null Verständnis in Mathe besitze brauche ich unbedingt jemand, der mir helfen kann, die folgende Aufgabe durch zurechnen.

gegeben ist: $\begin{eqnarray*} (x)=x^{3} - 2x^{2} + x \end{eqnarray*}$

gesucht sind: Nullstellen, Extremalstellen, Wendepunkte & der Graph in einem geeigneten Intervall (ich schätze mal, dass ich den dann zeichnen muss)

Als Tipp vom Lehrer gab es den Hinweis: $\begin{eqnarray*} (x_{n} ) = 0 = x_{n} (x_{n} ^{2} - 2x_{n} + 1) \end{eqnarray*}$
allerdings kann ich damit genau so wenig anfangen, wie mit der Aufgabe selbst.
Vielleicht kann mir ja jemand von euch weiterhelfen. (:

Meine Ideen:
Ich bin immerhin so weit gekommen, dass ich verstanden habe, dass es sich hierbei um eine Funktion 3. Grades handelt und ich die Nullstellen daher mit der Polynomdivision bestimmen kann.
Allerdings weiß ich nicht wie und die Tatsache, dass die Funktion im "hilfreichen" Tipp keine Funktion 3. Grades mehr ist, lässt mich an meiner Theorie zweifeln.
Bitte helft mir, ich bin aufgeschmissen und irgendwie muss ich das verstehen, damit ich nicht total durch das Abitur rassel!.

Edit Equester: Hilfeschrei aus Titel entfernt. Titel überhaupt etwas aussagekräftiger gestaltet.

26.08.2012, 16:59

Gast11022013

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Der Tipp deines Lehrers ist es ein x auszuklammern. Dann kannst du dir die Polynomdivision sparen.

26.08.2012, 17:07

chopsuey

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Gut, danke schon mal dafür, jetzt verstehe ich wenigstens den Tipp, leider weiß ich immer noch nicht, wie ich jetzt an die gesamte Rechnung rangehen soll.

26.08.2012, 17:10

Gast11022013

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Weißt du den was dir das ausklammern allgemein bringt?

Sagt dir der Satz vom Nullprodukt etwas?

26.08.2012, 17:12

chopsuey

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Ja, ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der Faktoren auch null ist.

26.08.2012, 17:13

Gast11022013

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Genau.

Freude

Und wie lässt sich das nun auf diesen Ausdruck anwenden?

$\begin{eqnarray*} x(x^2-2x+1)=0 \end{eqnarray*}$

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26.08.2012, 17:15

chopsuey

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Hm. Dass eine der Nullstellen = 0 ist?

26.08.2012, 17:18

Gast11022013

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Soweit stimmt das. Aber wie findest du die weiteren?

Du hast ja schon geschrieben, dass ein Produkt Null ist wenn einer der Faktoren Null ist.

Unser Ausdruck setzt sich aus den beiden Faktoren

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1<br /> \end{eqnarray*}$
zusammen.

Wir müssen also gucken wann

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1=0<br /> \end{eqnarray*}$
ist.

Im zweite Fall kannst du mal an die Binomischen Formeln denken. Damit ist es eine Zeile. Mit der pq-Formel sind es 3.
smile

smile

26.08.2012, 17:26

chopsuey

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Hm, das habe ich jetzt nur ungefähr verstanden. Das mit der Binomischen Formel sollte ich noch hinbekommen, aber was meinst du damit, dass es dann eine Zeile ist und mit der PQ-Formel dann 3?
Danke bis hier hin schon mal (:

26.08.2012, 17:28

Gast11022013

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Zitat:

was meinst du damit, dass es dann eine Zeile ist und mit der PQ-Formel dann 3?

Damit habe ich bloß den Rechenaufwand beschrieben.

Ob du

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1=0 \end{eqnarray*}$

Über die pq-Formel löst, oder mit der Binomischen Formel zerlegst ist egal. Das führt beides zum Ziel. Der Rechenaufwand ist auch in beiden Fällen nicht gerade hoch. Mit der Binomischen Formel bist du jedoch noch etwas schneller.

Die Binomische Formel muss man jedoch sehen. Das übliche Verfahren ist die pq-Formel.

26.08.2012, 17:36

chopsuey

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Ok verstehe.
Wenn ich das jetzt mit der 2. Binomischen Formel lösen wollen würde.
Wie würde das dann aussehen. Müsste ich sie dann umwandeln und die vereinfachte Form ebenfalls mit 0 gleich stellen?

26.08.2012, 17:39

Gast11022013

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Ja. Wenn du über die Binomische Formel vereinfachst kannst du wieder mit dem Satz des Nullproduktes argumentieren:

$\begin{eqnarray*} x(x^2-2x+1)=0<br /> <br /> =x((x-1)^2)=0 \end{eqnarray*}$

Nun kannst du die Nullstellen ablesen. Dabei muss man beachten, dass es eine doppelte Nullstelle gibt.

Je nachdem was dein Lehrer verlangt könnte auch eine kleine Nebenrechnung von Vorteil sein. Einfaches ablesen bringt vielleicht nicht volle Punkte. Für gewöhnlich ist dies jedoch ok gerade wenn man die Binomische Formel erkannt hat. Ohne diese Umformung sähe es wieder anders aus.

smile

smile

26.08.2012, 17:45

chopsuey

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Cool, danke!
Bis jetzt hab' ich noch alles verstanden. Big Laugh

Big Laugh

Weißt du auch, wie ich jetzt weiter vorgehen würde um die Extrema & die Wendepunkte zu finden?

26.08.2012, 17:46

Gast11022013

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Ja weiß ich. Big Laugh

Big Laugh

Aber zu erst nennst du mir bitte deine Ergebnisse für die x-Achsenschnittpunkte. Wie sieht es übrigens mit dem y-Achsenabschnitt aus?

26.08.2012, 17:50

chopsuey

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Also die Nullstellen hab' ich jetzt als 1 & 0 raus.
Meinst du den Schnittpunkt mit der y-Achse? Gibt es den denn? >.<

26.08.2012, 17:57

Gast11022013

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Vielleicht müsst ihr den auch nicht berechnen. Liegt wieder dran, was ihr in der Schule unter Nullstellen verstanden habt. Manchmal meint man nur die x-Achsenabschnitte und manchmal x und y-Schnittpunkte.

Ein y-Achsenschnittpunkt ist jedenfalls vorhanden.

Bedenke, dass die Bedingung für einen solchen

x=0 ist.
Du musst also eigentlich nur für jedes x in der Berechnung die Null einsetzen und ausrechnen.

Deine Lösungen sind zwar korrekt, aber hier musst du wieder aufpassen wie du es notierst.

$\begin{eqnarray*} x_1=0<br /> <br /> x_{2,3}=1 \end{eqnarray*}$

Hier haben wir ja eine doppelte Nullstelle. Das darfst du nicht vergessen. Sowas sollte auf jeden Fall Punkt abzug geben und ich möchte ja nicht, dass du dein Abitur in den Sand setzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ebenso solltest du noch die Punktschreibweise (falls noch nicht erledigt) notieren

also:

$\begin{eqnarray*} S_{x_1}(0|0)<br /> <br /> S_{x_{2,3}} (1|0) \end{eqnarray*}$

Wir haben den Ausdruck (x-1) ja zum quadrat (x-1)^2 das heißt, dass wir wenn wir über den Satz des Nullproduktes argumentieren wir sowas hätten:

$\begin{eqnarray*} x((x-1)(x-1))=0 \end{eqnarray*}$

Falls es vorher nicht klar war wo die zweite 1 herkommt, sollte es nun hoffentlich geklärt sein.

smile

smile

26.08.2012, 18:10

chopsuey

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Hahah, ok das heißt dann, dass der Schnittpunkt mit der Y-Achse auch Null ist?
Und danke für den Hinweis mit der Doppelten Nullstelle, das hätte ich sonst vergessen. (:
Ok, die Nullstellen hab' ich also schon mal begriffen, das ist definitiv ein Erfolg! Big Laugh

Big Laugh

Jetzt zu den Extrema (wenn du noch Lust hast):

Ich hab jetzt soweit vorgerechnet, dass ich die erste Ableitung von der Funktion gebildet habe und ich glaube, es ist
$\begin{eqnarray*} f'(x) = (x-1) * (3x-1) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Wenn ja, dann hab' ich diese Ableitung jetzt nämlich mit 0 gleichgesetzt und ausgerechnet und es kam -0,5 = x raus.
Wenn die Ableitung ohne hin falsch war, dann hab' ich das jetzt wohl umsonst gemacht! Big Laugh

Big Laugh

26.08.2012, 18:16

Gast11022013

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Schnittpunkt mit der y-Achse ist auch Null. Freude

Freude

Er ist identisch mit $\begin{eqnarray*} S_{x_1} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf diese abenteuerliche Schreibweise von f '(x) ?
Die ist aber richtig.
smile

smile

Wenn du nun schon eine solch schöne schreibweise (als Produkt) für die erste Ableitung gefunden hast, kannst du wieder mit dem Satz vom Nullprodukt arbeiten.

Also

$\begin{eqnarray*} x-1=0 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} 3x-1=0 \end{eqnarray*}$

Dein Ergebnis x=-0.5 stimmt nicht.

26.08.2012, 18:26

chopsuey

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Hm, dann muss ich wohl bei der Gleichung irgendwas falsch gerechnet haben..
Hab's jetzt nochmals mit dem Nullprodukt probiert und was ich rausbekommen habe, sind x=1 & x=0,33.
Ist das jetzt richtig? Ansonsten bin ich verwirrt.
Und woher weiß ich nun, ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind? Big Laugh

Big Laugh

26.08.2012, 18:30

Gast11022013

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Deine neuen x-Werte stimmen. Freude

Freude

Auch wenn du lieber für $\begin{eqnarray*} x_2=0,33 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} x_2=0,\overline{3} \end{eqnarray*}$

schreiben solltest (wenn wir schon dabei sind auf Formfehler hinzuweisen. ^^)

Ich denke mal auf deinem Blatt hast du auf die Periode hingewiesen, aber sicher ist sicher.

Ob du einen Hoch oder Tiefpunkt hast erkennst du an der zweiten Ableitung.
Dort setzen wir die Punkte ein.

Ist das Ergebnis größer als Null haben wir einen Tiefpunkt.
Ist das Ergebnis kleiner als Null haben wir einen Hochpunkt.
Ist das Ergebnis gleich Null kann man erstmal keine Aussage treffen. Normalerweise liegt dann ein sog. Sattelpunkt vor. (Spezielle Form des Wendepunktes)

26.08.2012, 18:37

chopsuey

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Okidoki, also die zweite Ableitung wäre dann
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 2 * (3x-2) \end{eqnarray*}$
wenn ich mich nicht täusche.

Hab' jetzt beide Werte mal in die Ableitung eingesetzt und raus kamen einmal 2 und einmal -2. Demnach ist das erste dann ein Tiefpunkt & das zweite ein Hochpunkt, oder? Big Laugh

Big Laugh

26.08.2012, 18:40

Gast11022013

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Zweite Ableitung ist auch korrekt. Freude

Freude

Wenn dein erster Wert $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ist und der zweite $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

dann stimmt das.

Für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ gibt es einen Tieftpunkt

für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ einen Hochpunkt.

Nun brauchen wir noch die Zugehörigen y-Werte für die Extremstellen. Weißt du wie du an diese kommst?

26.08.2012, 18:44

chopsuey

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Ach so, 2 und -2 können keine Punkte sein, weil sie ja nur jeweils eine Koordinate eines Punktes sind, verstehe. >.<
Aber nein, ich weiß leider nicht, wie ich die y-Werte herausbekomme.

26.08.2012, 18:48

Gast11022013

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Da vertauscht du ein paar dinge gerade. Die Ergebnisse -2 und 2 sagen erstmal nur etwas darüber aus, ob es sich um Hoch oder Tiefpunkte handelt.

Um zu den x-Werten den passenden y-Wert zu erhalten musst du sie in die Ausgangsfunktion einsetzen und ausrechnen:

Für x=1 sähe es so aus:

$\begin{eqnarray*} f(1)=(1)^3-2\cdot (1)^2+(1)=0<br /> <br /> E_1 (1|0) \end{eqnarray*}$

Die Klammern um die 1 habe ich bloß gesetzt um das einsetzen zu verdeutlichen. Sicherlich kannst du mir nun den passenden y-Wert für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ nennen.
smile

smile

26.08.2012, 19:00

chopsuey

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Na klar, das Maximum liegt dann bei P (0,3/0,1481) und das Minimum bei P (1/0). Oder? Big Laugh

Big Laugh

Jetzt müssten ja nur noch die Wendepunkte fehlen, und das sind die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion, ist das richtig?

26.08.2012, 19:09

Gast11022013

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Alles richtig. Auch wenn du auf deinem Zettel unbedingt auf die Periode hinweisen solltest. $\begin{eqnarray*} 0,1\overline{481}=\frac{4}{27} \end{eqnarray*}$

smile

smile

Deine Gedanken zu den Wendepunkten ist korrekt. Wenn du den x-Wert berechnet hast musst du genau so vorgehen wie mit den Extremstellen. Also danach wieder in f(x) einsetzen um den y-Wert zu erhalten.

26.08.2012, 19:12

chopsuey

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Ok, dann liegt der Wendepunkt bei $\begin{eqnarray*} (\frac{2}{3} / 0,0740) \end{eqnarray*}$ ! Big Laugh

Big Laugh

Ich hoffe, das ist richtig.
Wenn ja, dann fehlt mir noch der Funktionsgraph in einem geeigneten Intervall (ich schätze mal, mein Lehrer meint damit ein Koordinatensystem, dass vernünftig gezeichnet ist oder bedeutet das etwas anderes?)

Wenn nur das Koordinatensystem gemeint ist, dann bedanke ich mich recht herzlich bei dir für deine Hilfe, denn von hier aus sollte ich alleine klar kommen. Big Laugh

Big Laugh

26.08.2012, 19:17

Gast11022013

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Das stimmt. Freude

Freude

Du könntest es auch wieder als Bruch schreiben: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{27} \end{eqnarray*}$

Dein Koordinatensystem sollte alle Notwendigen Punkte beinhalten.

Ein Intervall von -1 bis 3 auf der x-Achse und auf der y-Achse von -2 bis 2 sollte genügen. Die abstände kannst du auf diesem eher kleinem Funktionsgraphen kleiner wählen. Damit kannst du diese krummen Zahlen genauer eintragen. Vielleicht 0,5 pro Zentimeter.

Gern geschehen. Und falls du in den nächsten Tagen keine Hilfe brauchst Herzlichen Glückwunsch zum Geburtstag. ^^

Ich hoffe meine Hilfe hat dir was gebracht.

Wink

Wink

26.08.2012, 19:27

chopsuey

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Aufjedenfall, du hast mir das Leben gerettet! Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank nochmal!

26.08.2012, 19:30

Gast11022013

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Ich kann dich übrigens beruhigen. Solche Aufgaben sollten im Abitur nicht drankommen. Die werden nämlich noch schwerer. Big Laugh

Big Laugh

Wenn es nur das ist um ein Menschenleben zu retten ..... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nochmals gern geschehen.

Wink

Wink

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