Koeffizientenvergleich / Differentialgleichung

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26.08.2012, 17:55	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizientenvergleich / Differentialgleichung Servus, steh grade bissle aufm Schlauch. Hab die Diff.gleichung x²y'' + xy' - 4y = 0 Ich soll zeigen dass die Differentialgleichung Lösungen der Art y(x) = Ax²+Bx+C hat und über Koeffizientenvergleich A,B und C bestimmen. Wenn ich y(x) 2 mal ableite und die Ableitungen in die Gleichung einsetze kürzt sich alles bis auf das C raus. Am Ende steht da noch - 4C = 0 . Wie soll man denn so einen Koeffizientenvergleich durchführen? Gruß
26.08.2012, 17:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koeffizientenvergleich/DIfferentialgleichung Hallo, den Koeffizientenvergleich kannst du ganz normal durchführen. Für welche $\begin{eqnarray} A,B,C\in\mathbb R \end{eqnarray}$ ist denn die Gleichung $\begin{eqnarray} -4C=0 \end{eqnarray}$ (für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ) efüllt? mfg, Ché Netzer
26.08.2012, 18:02	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja für A=B=C=0 wär es ja erfüllt.
26.08.2012, 18:03	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Müssen denn alle drei Parameter Null sein?
26.08.2012, 18:05	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, nur C muss gleich 0 sein. Die anderen können sämtliche Werte annehmen?
26.08.2012, 18:25	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hab grade mal rumprobiert. Für B=C=0 ist die Gleichung für alle A erfüllt.
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26.08.2012, 18:46	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Aufgabe geht es dann weiter, dass man die Diffgl. mit dem Ansatz f(x)= u(x) * y(x) und Reduktion der Ordnung auf eine Diffgleichung erster Ordnung zurückführen soll. Kann ich dann für den Ansatz zB die spezielle Lösung A=1, sprich x² nehmen und diese im Ansatz für y(x) einsetzen?
26.08.2012, 19:12	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Parameter $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ können beliebig sein. Und was genau soll mit dem zweiten Teil gemeint sein? Eine DGL erster Ordnung mit Matrix? Wenn ja, was soll dann dieser Ansatz $\begin{eqnarray} f(x)=u(x)y(x) \end{eqnarray}$ ? Was genau steht denn in der Aufgabe?
26.08.2012, 20:33	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das hat nichts mit Matrizen zu tun. Wir haben das als Methode zur Reduktion der Ordnung gelernt. Für y(x) nimmt man eine spezielle Lösung der Diffgleichung und u(x) ist erstmal eine unbekannte Funktion. Dann leitet man das Produkt der beiden so oft ab, wie eben nötig, und setzt dann die einzelnen Ableitung in die ursprüngliche Gleichung ein. Nach rumkürzen etc bleibt dann meist ne Gleichung wie zB u''+u'= ... , da macht man dann eine Substitution, zb v=u'. Und Damit wurde die Ordnng eben um eins verringert. Hat bestimmt nen Namen die Methode, weiß ihn aber nicht.
26.08.2012, 20:44	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, also nach d'Alembert. Naja, vorher fällt mir noch auf, dass ich deinen Ansatz etwas leichtfertig akzeptiert habe. $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ muss tatsächlich auch noch 0 sein. D'Alembert kenne ich auch mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} u_2(t)=u_1(t)\int_{t_0}^tv(\xi)\mathrm d\xi \end{eqnarray}$ , was also deiner Substitution entspricht. Und ja, da kannst du $\begin{eqnarray} y(x)=x^2 \end{eqnarray}$ benutzen. Dann setze mal ein.
26.08.2012, 21:00	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass B=0 sein muss kann man dann nur durch Probieren rausfinden? Oder ist das zwangsweise so? Gut. Wenn ich's einsetze bekomm ich 5x³u' + x^(4) * u'' = 0 Nach Substitution dürfte das dann ja über Variablentrennung zum Ziel führen.
26.08.2012, 21:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} B=0 \end{eqnarray}$ erhält man im Koeffizientenvergleich, da kürzt sich nämlich nicht alles andere heraus. Naja, die Gleichung stimmt jedenfalls. Dann bestimme mal $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ daraus.
26.08.2012, 21:50	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, hatte mich verrechnet. Mit Substitution v = u' und v' = dv/dx x^(4) dv/dx = - 5x³v \| :x³ daraus folgt dann: dv/-5v = dx/x Integriert: - ln \|5v\| = ln \|x\| + c -> v = - x/5 * c' u(x) = Integral[v dv] = - x²/10 * c' + c Die allgemeine Lösung wäre dann: u(x)y(x) = [- x²/10 c' + c] * x² Ich hoff es geht von der Übersicht her. Stimmt das so?
26.08.2012, 21:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du dich bei der Integration vertan. Sieh dir nochmal $\begin{eqnarray} \int\frac{\mathrm dv}{-5v} \end{eqnarray}$ an.
26.08.2012, 22:05	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso. Erstmal - 1/5 rausziehen. Dann -1/5 * ln\|v\| ?
26.08.2012, 22:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das schon eher. Und jetzt nach $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ umstellen.
26.08.2012, 22:26	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm. Iwie hakts grad an den Grundlagen. was ergibt denn e^[-1/5 * ln \|v\|]?
26.08.2012, 22:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Multipliziere lieber vorher mit $\begin{eqnarray} -5 \end{eqnarray}$ und verwende die Logarithmenregeln.
26.08.2012, 22:38	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn die Regel für den Fall, dass eine Zahl vor dem ln x steht. Wenn ich durchmulipliziere wärs hält jetzt e^(-5*lnx). Ich mein e^lnx ergibt x, aber was ist hier mit der -5?
26.08.2012, 22:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte eigentlich bekannt sein: $\begin{eqnarray} r\ln(x)=\ln(\dotso) \end{eqnarray}$ Oder wende Potenzgesetze auf $\begin{eqnarray} \mathrm e^{-5\ln x} \end{eqnarray}$ an.
26.08.2012, 22:56	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
ln(v^{5}) ? Also dann die fünfte Wurzel aus x*c' usw. zu spät um nochma alles durchzurechnen
26.08.2012, 22:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was machst du denn da? Du hast $\begin{eqnarray} -\tfrac15\ln v=\ln x \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \ln v=\ln x^{-5} \end{eqnarray}$ .
26.08.2012, 23:13	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Habs grad leicht verpeilt. Also dann x^(-5) integrieren. Das ergäbe dann u(x) = 1/4 x^(-4) *c' + c
26.08.2012, 23:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, jetzt noch die bekannte Lösung dranmultiplizieren und du hast die allgemeine Lösung. Den Faktor $\begin{eqnarray} \tfrac14 \end{eqnarray}$ kannst du dir aber auch sparen.
26.08.2012, 23:19	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, läuft. Danke, dass du dir die Zeit genommen hast. Gute Nacht wünsch ich noch.

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