Skalare Komponenten und die Beträge berechnen.

26.08.2012, 18:45

herbert95

Skalare Komponenten und die Beträge berechnen.

Meine Frage:
Habe Probleme bei der Berechnung dieser Aufgabe.

Gegeben sind die Vektoren:
$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \vec{b}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \vec{c}=\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Berechnen Sie die skalaren Komponenten und die Beträge der aus ihnen gebildeten folgenden Vektoren.

$\begin{eqnarray*} \vec{s4} = 3(\vec{a}\times \vec{b} )\vec{c}-5(\vec{b}\times \vec{c})\vec{a} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich komme auf $\begin{eqnarray*} \vec{s4}= \begin{pmatrix} -60 \\ 0 \\ -512 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} | \vec{s4} | = 515,50 \end{eqnarray*}$

Als Musterlösung ist jedoch $\begin{eqnarray*} \vec{s4}= \begin{pmatrix} -60 \\ -326 \\ 256 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} | \vec{s4} | = 418,82 \end{eqnarray*}$ angegeben.

Könnt ihr mir vll. sagen was ich falsch mache?

die x in den klammern soll malnehmenl bedeuten.

Vielen Dank im voraus.

27.08.2012, 00:24

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

die x in den klammern soll malnehmenl bedeuten.

Es gibt verschiedene Formen des Malnehmens.

$\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ ist ein gebräuchliches Zeichen für das Kreuzprodukt, bei Deiner Aufgabe ist aber anscheinend das Skalarprodukt gefordert.
Das Ergebnis der Musterlösung kann ich bestätigen, um Deinen Fehler zu finden, solltest Du Deinen Rechenweg aufschreiben.

27.08.2012, 15:40

herbert95

Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja ich habe erstmal vor dem Minuszeichen alles berechnet dann komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} 3(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} ))\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = 3\cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ -16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 90 \\ 0 \\ -192 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann die rechte Seite.
$\begin{eqnarray*} 5(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} ))\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = 5\cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 150 \\ 0 \\ -320 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann einfach Minus genommen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 90 \\ 0 \\ -192 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 150 \\ 0 \\ -320 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -60 \\ 0 \\-512 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.08.2012, 15:50

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Multiplikation, die Du jeweils zuerst durchführst, ist falsch.

Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein Skalar ("Zahl"), kein Vektor.
$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = a_1 \, b_1 + a_2 \, b_2 + a_3 \, b_3 \end{eqnarray*}$

Bei der ersten Rechnung also $\begin{eqnarray*} 3 \cdot (-2) +2\cdot 0+(-4) \cdot 4 \end{eqnarray*}$

27.08.2012, 15:54

herbert95

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay erstmal danke für die schnelle Hilfe. Ich werde es dann mal auf einem Blatt Papier versuchen und dann nochmal meinen neuen Lösungsweg posten.

27.08.2012, 16:11

herbert95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kapiers nicht.

Jetzt rechne ich:

3*3*(-2)*(-5)+3*2*0*(-1)+3*(-4)*4*4=90+0-192=-102 auf der linken Seite. Aber auf welchem Weg soll mich das weiter bringen? bzw. Wie komme ich den von diesem einen Ergebnis später wieder auf einen Vektoren wie er in der Musterlösung angegeben ist.

Oder wo liegt den jetzt schon wieder der fehler?

27.08.2012, 16:27

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der Berechnung des Skalarprodukts geht es mit der Multiplikation der Zahl mit einem Vektor weiter. Dieses Ergebnis ist dann ein Vektor.

$\begin{eqnarray*} 3[3 \cdot (-2) +2\cdot 0+(-4) \cdot 4]\cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -66\cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -66\cdot (-5) \\ -66\cdot 1 \\ -66\cdot 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.08.2012, 16:44

herbert95

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke für den Lösungsweg. Bin nun auf das Ergebnis gekommen.
$\begin{eqnarray*} 3\left[3\cdot (-2)+2\cdot *0+(-4)\cdot 4\right]\cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}- 5\left[(-2)\cdot (-5)+0\cdot *1+(4)\cdot 4\right]\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 330 \\ -66 \\ -264 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 390 \\ 260 \\ -520 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -60 \\ -326 \\ 256 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kannst du mir aber bitte noch sagen wieso man bei a*b das Skalarprodukt nimmt und dann bei mal c wieder den normalen Vektor malnimmt? Bzw. gibt es eine Regel wann welche Art von Produkt genommen wird?

Vielen Dank im Voraus

27.08.2012, 17:07

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Vereinfacht ausgedrückt: Man nimmt das Skalarprodukt, weil man sonst nichts anderes nehmen kann.*

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} =\color{red}\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ geschockt

Diese Multiplikation gibt es nicht!

Und wenn man dann eine Zahl als Ergebnis erhalten hat, bleibt einem auch keine andere Möglichkeit, als jede Komponente des Vektors einzeln mit der Zahl zu multiplizieren.

*Es gibt allerdings auch noch das Kreuzprodukt, das werdet ihr aber noch nicht durchgenommen haben. Während Du Dir den Artikel anschaust, gehe ich mit dem Hund in den Wald. Augenzwinkern

27.08.2012, 17:12

herbert95

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also wird immer zuerst ein Skalarprodukt gebildet und dieses dann mit dem Vektoren multipliziert. Das versuch ich mir dann zu merken.
Nochmal Vielen Dank für die freundliche Unterstützung Freude

27.08.2012, 20:33

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen!

Für Berechnungen mit dem Skalarprodukt merke Dir auch $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\cdot \vec{b} )\cdot \vec{c} \neq \vec{a}\cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) \end{eqnarray*}$
Dann sollte alles gut gehen.

Wink

Neue Frage »

Antworten »

Skalare Komponenten und die Beträge berechnen.

Verwandte Themen