Erwartungswert - Binomialverteilung

26.08.2012, 20:17

G0rd0nGeKK0

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Erwartungswert - Binomialverteilung

Es sei X eine Zufallsvariable, die nur Werte 0 und 1 annimmt. Dass sie 1 annimmt, geschieht mit der Wahrscheinlichkeit p = P( X = 1 ) = 0.3

a) Berechne den Erwartungswert E(X)
b) Berechne die Varianz Var(x)
c) Ein Zufallsexperiment wird durch das 10-malige Wiederholen dieser Zufallsvariable beschrieben. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der Durchführung dieses Zufallsexperiments genau 2mal die 1 als Ergebnis kommt.

zu a) würde ich folgendes rechnen:

1*0.3 + 0*0.7 = 0.3

zu b) (1-0.3)²+(0-0.3)² / 2

zu c) hab ich leider keine Ideen

Würde mich über eure Denkanstöße freuen

Danke

26.08.2012, 20:29

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Erwartungswert ist schonmal korrekt. Weshalb teilst du bei der Varianz durch 2 am Ende?

Bei der c) kannst du schonmal anfangen, ein Baumdiagramm zu zeichnen. Wie viele Möglichkeiten hast du, um aus den 10 Würfen die 2 treffer auszuwählen?

26.08.2012, 20:34

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
zu b) Ich weiß ja nicht, wie oft das Experiment gemacht wird, deswegen kann ich n ja nicht bestimmen.

zu c) Die Wahrscheinlichkeit muss eher gering sein. Ich schreib mir mal alle Möglichkeiten auf. Moment...

26.08.2012, 20:38

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
zu b) Ich weiß ja nicht, wie oft das Experiment gemacht wird, deswegen kann ich n ja nicht bestimmen.

Schau dir mal an, wie die Varianz einer Zufallsvariablen definiert ist.

Für Erwartungswert und Varianz einer Binomialverteilung gibt es da spezielle Formeln.

26.08.2012, 21:16

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
$\begin{eqnarray*} \sigma= \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^n (x_{i} -\bar x)² \end{eqnarray*}$

Was wäre n hier in diesem Fall?

26.08.2012, 21:27

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Du verwechselst da zwei Dinge. Dies ist die Varianz einer Stichprobe. Wir suchen die Varianz einer Zufallsvariablen

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26.08.2012, 23:48

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu:= E(X) \end{eqnarray*}$ . Dann versteht man unter der Varianz $\begin{eqnarray*} V(X) = \sigma^{2} \end{eqnarray*}$ den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} (X-\mu )^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = V(X) = E( (X-\mu)^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = V(X) = E( (1-0.3)^2) = 0.49 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = V(X) = E( (0-0.3)^2) = 0.09 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Gibt es nur eine Varianz oder warum habe ich jetzt hier 2 Werte? 0.49 und 0.09?

27.08.2012, 00:00

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = V(X) = E( (X-\mu)^2) \end{eqnarray*}$

Bis dahin ist es richtig. Nun musst du den Erwartungswert von dem Teil berechnen, also nicht nur einsetzen.

27.08.2012, 01:16

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
$\begin{eqnarray*} E(X-\mu)^2 = E(X^2)-\mu^2 \end{eqnarray*}$

Mich verwirrt dieses E. Was ist denn eigentlich $\begin{eqnarray*} E(1^2) \end{eqnarray*}$ ?

27.08.2012, 01:25

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
$\begin{eqnarray*} E(X-\mu)^2 = E(X^2)-\mu^2 \end{eqnarray*}$

Mich verwirrt dieses E. Was ist denn eigentlich $\begin{eqnarray*} E(1^2) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} E(1^2)=1 \end{eqnarray*}$ , hat aber nichts mit der Aufgabe zu tun. Der Erwartungswert einer konstanten Zufallsvariablen ist immer die Konstante selbst.

Schau dir morgen mal an wie du
$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = V(X) = E( (X-\mu)^2) \end{eqnarray*}$
berechnen kannst.

Anderenfalls kannst du natürlich auch meinen Hinweis aufgreifen:

Zitat:

Für Erwartungswert und Varianz einer Binomialverteilung gibt es da spezielle Formeln.

Versuch es morgen nochmal, ich habe heute zumindest keien Lust mehr.

27.08.2012, 01:44

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Hab diese Defintion aus dem Internet mit dem E usw. In meinem Skript steht drin:

Für die Varianz einer diskreten Zufallsvariable gilt folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} \sigma^2= \sum\limits_{i=1}^n (x_{i} -\mu)^2\cdot f_{x} ( x_{i} ) \end{eqnarray*}$

Dann würd ich einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \sigma^2= (1 -0.3)^2\cdot 0.3 +(0 -0.7)^2\cdot 0.7 \end{eqnarray*}$

Und da kommt wieder $\begin{eqnarray*} \sigma^2= 0.49 \end{eqnarray*}$ raus.

27.08.2012, 11:27

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
Hab diese Defintion aus dem Internet mit dem E usw. In meinem Skript steht drin:

Für die Varianz einer diskreten Zufallsvariable gilt folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} \sigma^2= \sum\limits_{i=1}^n (x_{i} -\mu)^2\cdot f_{x} ( x_{i} ) \end{eqnarray*}$

Dann würd ich einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \sigma^2= (1 -0.3)^2\cdot 0.3 +(0 -0.7)^2\cdot 0.7 \end{eqnarray*}$

Bis dahin ist es richtig.

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
Und da kommt wieder $\begin{eqnarray*} \sigma^2= 0.49 \end{eqnarray*}$ raus.

Die Gleichung
$\begin{eqnarray*} (1 -0.3)^2\cdot 0.3 +(0 -0.7)^2\cdot 0.7=0.49 \end{eqnarray*}$
rechnest du bitte nach.

27.08.2012, 13:25

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
$\begin{eqnarray*} (1-0.3)^2 = 0.49 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.49 \cdot 0.3 = 0.147 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (0-0.7)^2 = 0.49 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.49\cdot 0.7 = 0.343 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.147+0.343 = 0.49 \end{eqnarray*}$

weiß nicht, wo der Fehler liegen soll. $\begin{eqnarray*} 0.49 \end{eqnarray*}$ müsste richtig sein.

27.08.2012, 13:57

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Im zweiten Summanden wäre richtig:
$\begin{eqnarray*} \sigma^2= (1 -0.3)^2\cdot 0.3 +(0 -0.3)^2\cdot 0.7 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} (0-0.3)^2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} (0-0.7)^2 \end{eqnarray*}$

27.08.2012, 14:08

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Ach stimmt ja. Das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ bleibt immer $\begin{eqnarray*} 0.3 \end{eqnarray*}$ .
Ok dann kommt da $\begin{eqnarray*} 0.553 \end{eqnarray*}$ raus.

zu c ) Das ist ja richtig schwer alle Möglichkeiten aufzuzählen.

0000000000
1000000000
0100000000
0010000000
0001000000
0000100000
0000010000
0000001000
0000000010
0000000001

1100000000
0011000000
0000110000
0000001100
0000000011

Aber man ja hat ja auch zb:

0100000100

Wie soll man das alles aufzählen können ohne sich zu verzählen? Da gibts sicher nen Trick oder?

27.08.2012, 14:20

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Zur c)
Gefragt ist

Zitat:

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der Durchführung dieses Zufallsexperiments genau 2mal die 1 als Ergebnis kommt.

Damit fallen schonmal diese Kombinationen weg:

Zitat:

0000000000
1000000000
0100000000
0010000000
0001000000
0000100000
0000010000
0000001000
0000000010
0000000001

Stichwort: Binomialkoeffizient bzw Binomialverteilung.

27.08.2012, 14:36

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Ok erstmal herausfinden wieviele Gesamtmöglichkeiten es gibt. Dann herausfinden wieviele Möglichkeiten 2 Treffer der 1 entsprechen und dann ins Verhältnis setzen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten müsste es insgesamt geben.

Mein Derive zeigt aber +- unendlich an. Da kommt nix vernünftiges raus.

27.08.2012, 14:43

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Es muss $\begin{eqnarray*} {10\choose 2} \end{eqnarray*}$ sein.

27.08.2012, 14:53

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Was würde ich nur ohne dich machen? Big Laugh

Big Laugh

Ok damit haben 45 Gesamtmöglichkeiten. Nun müssen wir noch die günstigen Fälle berechnen.

27.08.2012, 14:54

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Wir haben doch schon 45 Möglichkeiten berechnet. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit einer solchen Kombination?

27.08.2012, 15:01

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
1/45?

Ich steh grad aufm Schlauch iwie traurig

traurig

27.08.2012, 15:05

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
So, jetzt zeichnest du dir ein Baumdiagramm und zeichnest da alle 10 Pfade ein. Und zwar vollständig!

27.08.2012, 15:32

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Da kann ich mich da dumm und dämlich zeichen. Nach dem 10. Versuch sind das ja schon 1024 Nullen und Einsen. Da muss es noch ne einfache Möglichkeit geben.

27.08.2012, 15:35

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Stichwort: Binomialkoeffizient bzw Binomialverteilung.

27.08.2012, 15:39

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Lass mich dir mal erklären, wie ich auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ vorhins gekommen bin. Beim Lotto gibt es 6 Slots und ingesamt 49 Zahlen.

Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Kombinationen.

Bei meiner Aufgabe haben wir 10 Slots und 2 Zahlen.

Also müsste es doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heißen. Aber wie gesagt, da kommt nix gescheites raus. Warum nicht?

Und bei c) müssen wir ja herausfinden, wieviele solcher Kombinationen es gibt. Also zb 0100000001.

Wir haben 45 Gesamtmöglichkeiten. Wie finde ich heraus wieviele günstige Ereignisse es gibt. Ich muss das doch ins Verhältnis setzen zur 45, um herauszufinden wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist.

27.08.2012, 15:42

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Was habe ich in meinem vorherigen Beitrag geschrieben?
Was hat deine vierminütige Blitzrecherche dazu ergeben?

27.08.2012, 15:46

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Bitte erkläre mir, warum es 10 über 2 heißen muss und nicht 2 über 10.

27.08.2012, 15:48

Math1986

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Da meine vorherige Frage nicht beantwortet wurde antworte ich gar nicht mehr hier. Ein anderer kann übernehmen

27.08.2012, 15:51

G0rd0nGeKK0

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RE: Erwartungswert - Binomialverteilung
Ahh es gibt eine Binomialfunktion für die Wahrscheinlichkeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f_{x} (x) = B(n,p) = \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} \cdot p^{x} \cdot (1-p)^{n-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x} (x) = B(10,0.5) = \begin{pmatrix} 10 \\ 45 \end{pmatrix} \cdot 0.5^{45} \cdot (1-0.5)^{10-45} \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen wie ich engesetzt habe?

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