Fuer welche x konvergiert die Reihe...

01.02.2007, 17:26

septi

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Fuer welche x konvergiert die Reihe...

Wieder einmal eine Reihe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kann mir da jemand auf die Spruenge helfen?

Wir hatten bis jetzt die ueblichen Kriterien: WK, QK, LK...

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{1+nx} \end{eqnarray*}$

Ich komm irgendwie nicht wirklich weiter, ausser ich mach etwa 10 Fallunterscheidungen...

01.02.2007, 17:34

Calvin

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Die Reihe gab es hier vor kurzem schonmal. Helfen dir die Tipps aus dem Thread Konvergenz von Reihen [war: Brauche Hilfe bei einer Aufgabe] weiter?

Edith sagt gerade, dass im ursrpünglichen Beitrag des verlinkten Threads das n fehlt. Das ist aber wohl nur ein Tippfehler wie sich im Laufe des Threads herausstellt Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2007, 17:47

septi

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Danke, hilft mir aber nicht wirklich weiter, da steht jede Menge Wirr-Warr Augenzwinkern

Augenzwinkern

naja ich versuch mal was richtiges da rauszufiltern...

Da steht naemlich als Loesung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mid x \mid <1: \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{x^n}{1+nx} \leq \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{x^n}{nx} \leq \sum_{k=0}^\infty ~x^n \end{eqnarray*}$
Das ist die geometrische Reihe und diese konvergiert ja für alle |x|<1

Ich bin nicht wirklich ueberzeugt davon dass man durch die Konvergenz der Majorante direkte Aussagen ueber die Konvergenz der Reihe machen kann... oder sehe ich das falsch? Meiner Meinung nach kann man nach dem Schritt nur behaupten dass die Reihe hoechstens fuer $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

01.02.2007, 17:49

Calvin

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Diese Umformung ist IMHO falsch. Im letzten Posting habe ich den Ansatz mit dem Quotientenkriterium gewählt. Schau dir das mal an.

01.02.2007, 17:54

septi

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Mein Ansatz waere ja:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{1+nx} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{nx} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n} \leq \sum_{n=0}^\infty x^n \end{eqnarray*}$

also Konvergiert die Majorante fuer $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$

...und weiter? smile

smile

01.02.2007, 17:57

septi

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Zitat:

Original von Calvin
Diese Umformung ist IMHO falsch. Im letzten Posting habe ich den Ansatz mit dem Quotientenkriterium gewählt. Schau dir das mal an.

Hu? Da hast du die andere Aufgabe gerechnet...

Edit: achne, sorry habs ueberlesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

OK ich gruebel weiter

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01.02.2007, 17:58

therisen

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Hallo septi,

die Aufgabe geht eigentlich ganz kanonisch.

Definiere $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{x^n}{1+nx} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x|\left| \frac{\frac{1}{n}+x}{\frac{1}{n}+x+\frac{x}{n}} \right| \longrightarrow |x|\cdot 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} |x| \neq 1 \end{eqnarray*}$ liefert nun das Quotientenkriterium eine Aussage. Bleibt noch $\begin{eqnarray*} x=\pm1 \end{eqnarray*}$ zu betrachten (harmonische Reihe).

Gruß, therisen

01.02.2007, 18:02

septi

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Bah danke, QK habe ich komischerweise am Anfang schon aufgegeben, habe gerade entdeckt dass ich mich da bei der Umformung vertan habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2007, 20:37

SilverBullet

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Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} |x| \neq 1 \end{eqnarray*}$ liefert nun das Quotientenkriterium eine Aussage. Bleibt noch $\begin{eqnarray*} x=\pm1 \end{eqnarray*}$ zu betrachten (harmonische Reihe).

Welche denn ? Für |x| < 1 konvergent und für |x| > 1 divergent oder ?
Klar kann man für x = 1 harmonische Betrachten aber wieso klappt das nicht auch mit dem Quotientenkriterium, denn es heißt doch für $\begin{eqnarray*} N \geq 1 \end{eqnarray*}$ divergent ?!

Edit : Sekunde es ist für x = 1 doch die geometrische Reihe und nicht die Harmonische oder ?

01.02.2007, 20:39

therisen

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Naja, im Falle $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1 \end{eqnarray*}$ liefert das Quotientenkriterium keine Aussage über Konvergenz/Divergenz. Das ist beim Wurzelkriterium genauso Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2007, 22:02

septi

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Die Aufgabe scheint etwas kniffliger zu sein als ich gedacht habe.. Naja hier ist meine Loesung, denke so muesst es passen:

$\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{x^n}{1+nx} \;\;\Rightarrow\;\; \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{x^{n+1}(1+nx)}{(1+(1+n)x)x^n}\right|= \left| \frac{x(1+nx)}{1+(1+n)x}\right| = |x| \left|\frac{\frac1n +x}{\frac1n+x+\frac{x}{n}}\right|\stackrel{n\to\infty}\to |x| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Wegen Quotientenkriterium: Konvergenz f"ur $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ , und
Divergenz f"ur $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ die (divergente) harmonische Reihe liefert und unsere Reihe f"ur $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ nicht
definiert ist, konvergiert also die Reihe auf $\begin{eqnarray*} ]-1,1[ \end{eqnarray*}$ , wenn nur dieser
bl"ode Bruch nicht da w"are. $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist n"amlich nicht die einzige
Polstelle, der Nenner wird mit $\begin{eqnarray*} x=-\frac1n \;\;\forall n>1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Also ist:
$\begin{eqnarray*} x \;\in\; ]-1,1[\;\;\setminus\; \left\{-\frac1k\right\}\ \;\;\forall \;k>1,\; k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

01.02.2007, 22:33

SilverBullet

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LatexTest $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} \end{eqnarray*}$

Probier Latex mit "[/latex]" zu beenden

01.02.2007, 22:56

septi

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klappt nicht.. maaah habs direkt aus meiner .tex-datei kopiert, muesste fehlerfrei sein

01.02.2007, 23:01

SilverBullet

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Also wenn ich deinen Code kopiere und aus jedem [\latex] ein [/latex] mache dann klappt es.

Vielleicht haste ja auch Glück und nen Admin nimmt sich Zeit wenn er nichts zu tun hat und ändert das für dich Forum Kloppe

Forum Kloppe

01.02.2007, 23:06

septi

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achso! slash statt backslash Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2007, 23:11

Calvin

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@septi

wenn du jetzt noch die Zeilenumbrüche rausnimmst, ist es perfekt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zeilenumbrüche im Quelltext gehen nicht. Entweder schreibst du jede Zeile in neue LaTeX-Tags oder du machst Zeilenumbrüche mit \\ Dafür hast es aber dann rechtsbündig Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.02.2007, 08:33

sebi19

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und ist das jetzt richitg was septi gmeacht hat?

02.02.2007, 13:59

therisen

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Also ich habe keine Einwände.

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